मुक्त इलेक्ट्रॉनों के अपवाह वेग के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

Explanation

धातुओं में मुक्त इलेक्ट्रॉन, धन आयनों के बीच खली स्थान में उच्च ऊष्मीय वेग से अनियमित गति करते रहते है। गति करते समय मुक्त इलेक्ट्रॉन बारम्बार धन आयनों से टकराते है तथा प्रत्येक टक्कर के बाद इनकी गति की दिशा बदल जाती है जिसके कारण सभी इलेक्ट्रॉनों का औसत ऊष्मीय वेग शून्य रहता है। यदि इलेक्ट्रॉनों के विभिन्न दिशाओं में ऊष्मीय वेग `u_(1),u_(2),u_(3),.....` है तथा धातु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या n है, तब
`(u_(1)+u_(2)+u_(3)+....u_(n))/(n)=0" "....(1)`
अब यदि धातु (चालक) एक विद्युत क्षेत्र E में उपस्थित है, तब इस क्षेत्र द्वारा मुक्त इलेक्ट्रॉन पर आरोपित बल
`F=eE`
यदि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m है, तब इस बल के कारण इलेक्ट्रॉन में उत्पन्न त्वरण
`a=(F)/(m)=(eE)/(m)" "...(2)`
इस बल के कारण धन आयन से टकराने के पश्चात इलेक्ट्रॉन का वेग विद्युत क्षेत्र E की विपरीत दिशा में बढ़ने लगता है। यदि किसी इलेक्ट्रॉन की, धन आयनों से हुई दो क्रमागत टक्करों के बीच का समयांतराल t हो, तो इलेक्ट्रॉन के वेग में वृद्धि at होगी। इस प्रकार यदि इलेक्ट्रॉनों के ऊष्मीय वेग विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में `u_(1),u_(2),u_(3),...` है, तो क्षेत्र की उपस्थिति में `(u_(1)+at_(1)),(u_(2)+at_(2)),(u_(3)+at_(3))...` होंगे तथा सभी n इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग अर्थात मुक्त इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग
`v_(d)=((u_(1)+at_(1))+(u_(2)+at_(2))+(u_(3)+at_(3))+....+(u_(n)+at_(n)))/(n)`
`=((u_(1)+u_(2)+u_(3)+...+u_(n)))/(n)+a((t_(1)+t_(2)+t_(3)+......t_(n)))/(n)`
`=0+at" "...(3)`
जहाँ `t=((t_(1)+t_(2)+t_(3)......+t_(n)))/(n)` इलेक्ट्रॉनों का दो क्रमागत टक्करों के बीच का औसत समयान्तराल (श्रांतिकाल) है।
समी. (2) से a का मान समी. (3) में रखने पर,
`v_(d)=(eE)/(m)t`