`1.5 muC` तथा `2.5 muC` आवेश वाले दो सूक्ष्म गोले एक-दूसरे से `30 cm` की दूरी पर स्थित हैं ।
(a) दोनों आवेशों को मिलनेवाली रेखा के मध्यबिंदु पर, और
(b) मध्यबिंदु से होकर तथा आवेशों को मिलनेवाली रेखा के लंबवत तल में मध्यबिंदु से `10 cm` दूर स्थित किसी बिंदु पर विभव तथा विधुत-क्षेत्र ज्ञात करें ।

Explanation

(a) A तथा B पर स्थित आवेशों को मिलनेवाली रेखा के मध्यबिंदु O पर विभव ,
`V = V_(1) + V_(2) = (1)/(4piin_(0)) ((q_(1))/(r_(1)) + (q_(2))/(r_(2)))`
प्रश्न से, `q_(1) = 1.5 muC = 1.5 xx 10^(-6)C`,
`r_(1) = 15 cm = 15 xx 10^(-2)m`,
`q_(2) = 2.5 xx 10^(-6)C`
तथा `r_(2) = 15 xx 10^(-2) m`.
`:. V = (9 xx 10^(9) N m^(2)C^(-2)) ((1.5 xx 10^(-6)C)/(15 xx 10^(-2)m) + (2.5 xx 10^(-6)C)/(15 xx 10^(-2)m))`
`= (9 xx 10^(9)) (10^(-5) + (5)/(3) xx 10^(-5)) NmC^(-1)`
`= (9 xx 10^(9)) 10^(-5) (1+ 5/3) V = 9 xx 10^(4) xx 8/3 V = 2.4 xx 10^(5) V`.
अब, `1.5 muC` आवेश के कारण बिंदु O पर विधुत-क्षेत्र,
`E_(1) = 1/(4piin_(0)) (q_(1))/(r_(1)^(2)) = (9 xx 10^(9) N m^(2)C^(-2)) ((1.5 xx 10^(-6)C))/((1.5 xx 10^(-1) m)^(2))`
`= 9 xx 10^(9) xx 2/3 xx 10^(-4) N C^(-1) = 6 xx 10^(5) V m^(-1)`, O से B की ओर
फिर, `2.5 muC` के कारण बिंदु O पर विधुत-क्षेत्र,
`E_(2) = (1)/(4 pi in_(0)) (q_(2))/(r_(2)^(2)) = (9 xx 10^(9) N m^(2) C^(-2)) (2.5 xx 10^(-6)C)/((1.5 xx 10^(-1) m)^(2))`
`=9 xx 10^(9) xx (50)/(45) xx 10^(-4) N C^(-1) = 10 xx 10^(5) V m^(-1)`
अब चूँकि `E_(2) gt E_(1)`, अतः बिंदु O पर परिणामी विधुत-क्षेत्र,
`E = E_(2)- E_(1) = (10 - 6) xx 10^(5) V m^(-1) = 4 xx 10^(5) V m^(-1)`
इस क्षेत्र की दिशा B से A की और होगी ।
(b) अब AB के लंबवत समद्विभाजक पर O से 10 cm की दूरी पर बिंदु P पर विभव ,
`V = (1)/(4piin_(0)) ((q_(1))/(r_(1)) + (q_(2))/(r_(2)))`
`= (9 xx 10^(9) N m^(2) C^(-2)) ((1.5 xx 10^(-6)C)/(sqrt(325) xx 10^(-2) m) + (2.5 x 10^(-6)C)/(sqrt(325) xx 10^(-2) m))`
`= (9 xx 10^(9) xx 10^(-6))/(10^(-2)) . ((1.5 + 2.5))/(sqrt(325)) V = (36 xx 10^(5))/(18.2) V`
`= 2 xx 10^(5) V`.
अब बिंदु P पर `1.5 muC` आवेश के कारण विधुत-क्षेत्र
`E_(1) = 1/(4pi in_(0)) (q_(1))/(r_(1)^(2)) = 9 xx 10^(9) xx (1.5 xx 10^(-6))/((sqrt(325) xx 10^(-2))^(2)) V m^(-1)`
`= (9 xx 1.5)/(325) xx 10^(7) V m^(-1) = 4.15 xx 10^(5) V m^(-1)`
इसी प्रकार , `2.5 muC` आवेश के कारण बिंदु P पर विधुत-क्षेत्र,
`E_(2) = 1/(4piin_(0)) (q_(2))/(r_(2)^(2)) = (9 xx 2.5)/(325) xx 10^(7) Vm^(-1)`
`= 6.92 xx 10^(5) V m^(-1)`
मान लिया कि `vecE_(1)` तथा `E_(2)` की दिशाओं के बीच का कोण `theta` हैं , अतः `DeltaABP` से,
`cos tetha = (325 + 325 - 900)/(2 xx 325) = - (250)/(650) = - - 5/(13)`
`:. theta = 112.69^(@)`,
अतः परिणामी विधुत-क्षेत्र ,`E = sqrt(E_(1)^(2) + E_(2)^(2) + 2E_(1)E_(2) cos theta)`
`= sqrt((4.15 xx 10^(5))^(2) + (6.92 xx10^(5))^(2) + 2(4.15 xx10^(5)) (6.92 xx 10^(5))(-5/13)) Vm^(-1)`
`= 10^(5) sqrt(17.22 + 47.88 - 22.09) V m^(-1) = sqrt(43) xx 10^(5) V m^(-1)`
`= 6.6 xx 10^(5) Vm^(-1)`
मान लिया कि परिणामी क्षेत्र की `vecE` दिशा `vecE_(1)` दिशा (अर्थात AP रेखा से) `alpha` कोण बनाती है । अतः
`tan alpha= (E_(2) sin theta)/(E_(1)+E_(2)costheta) = (6.92xx10^(5) xx(12)/(13))/(4.15 xx 10^(5) + 6.92 xx10^(5) (-5/13))`
`[ :' cos theta = (-5)/(13) sin theta = (12)/(13)]`
`= (83.04)/(53.95- 34.6) = 4.29 = tan 76.9^(@)`
`:. alpha = 76.9^(@)`
चित्र `1.3-2` से `vecE` दिशा एवं B से A की और दिशा के बीच बना कोण
`= 90^(@)- (alpha - (theta)/(2)) = 90^(@) - 76.9^(@) + (11.2)/(2) = 69.4^(@)`.