`-q` तथा `+q` आवेश क्रमश: `(0,0,-a)` तथा `(0,0,+a)` पर स्थित हैं ।
(a) बिंदु `P(0,0,z)` तथा बिंदु `Q(x,y,0)` पर स्थिर विधुत-विभव ज्ञात करें ।|
(b) मूलबिंदु (origin) से किसी दूरी r पर विभव की निर्भरता (dependence) ज्ञात करें । यदि `q/r lt lt 1`.
(c ) x-अक्ष पर बिंदु `(5,0,0)` से दूसरे बिंदु `(-7,0,0)` तक किसी परीक्षण आवेश को ले जाने में कितना कार्य संपादित होगा ? यदि वह परीक्षण आवेश उन्हीं दो बिंदुओं के बीच x-अक्ष के अनुदिश नहीं, बल्कि किसी अन्य पथ से ले जाएं तो क्या संपादित कार्य का परिमाण बदल जाएगा?

Explanation

चित्र में z-अक्ष पर स्थित -q तथा +q आवेशों से बना निकाय एक विधुत-द्विध्रुव है
जिसका अक्ष धनात्मक z-अक्ष के अनुरेख है । इस द्विध्रुव का आघूर्ण `|vecp| =q.2a`.

(a)अब बिंदु `P(0,0,z)` पर निकाय के कारण विधुत-विभव,
`V = V_(1) + V_(2) = 1/(4piin_(0))[(q)/(z-a)+(-q)/(z-(-q))]`
`= (q)/(4piin_(0))[(z+a-z+a)/(z^(2)-a^(2))] = (1)/(4piin_(0)) (q.2a)/(z^(2) - a^(2))`
`= (1)/(4piin_(0))(p)/(z^(2)-a^(2))`
यदि बिंदु P की स्थिति -q आवेश के निकट P' पर हो,तब
`V = 1/(4piin_(0))[(q)/(a-(-z))+(-q)/(-a-(-z))] = (q)/(4piin_(0)) [(1)/(z+a)-1/(z-a)]`
`= (1)/(4piin_(0))(-q.2a)/(z^(2)-a^(2)) = - 1/(4piin_(0))(p)/(z^(2)-a^(2))`
यदि बिंदु Q की स्थिति XY तल में (x,y,0) पर हो, तब आवेश +q से बिंदु Q की दूरी ,
`r_(1) = [(x-0)^(2)+(y-0)^(2) + (0 -a)^(2)]^(1/2)= sqrt(x^(2) + y^(2) + a^(2))`.
इसी प्रकार, -q से बिंदु Q की दूरी,
`r_(2) = [(x - 0)^(2) + (y-0)^(2) + (0 + a)^(2) ]^(1/2) = sqrt(x^(2) + y^(2) + a^(2))`.
स्पष्टत : `r_(1) = r_(2)` और बिंदु Q पर विधुत-विभव,
`V = V_(1) +V_(2) = 1/(4piin_(0))[(q)/(r_(1)) +(-q)/(r_(2))]`

`= 1/(4piin_(0))[(q)/(r)-q/r]` [क्योकि`r_(1) = r_(2) = r` ]
`= 0`
(b)
मूलबिंदु O से आकाश (space) में किसी स्वेच्छ (arbitrary) बिंदु `P(x,y,z)` पर विभव:
चित्र में बिंदु A पर स्थित आवेश q से स्वेच्छ बिंदु P की दूरी ,
`r_(1) [x^(2) +y^(2) +(z-a)^(2)]^(1/2)`
`=[x^(2)+y^(2)+z^(2)-2az+a^(2)]^(1/2)`
`=[r^(2)-2az+a^(2)]^(1/2)`
`= [r^(2)-2az]^(1/2)` (क्योकि `a^(2) lt lt r^(2)`)
`=r[1-(2az)/(r^(2))]^(1/2)=r[1-1/2(2az)/(r^(2))]` (द्विपद प्रमेय से)
`:. (1)/(r_(1)) = 1/r[1-(az)/(r^(2))]^(-1)=1/r(1+(az)/(r^(2)))`.
इसी प्रकार, आवेश -q से बिंदु P की दूरी,
`r_(2)= [x^(2)+y^(2)+(z-a)^(2)]^(1/2)=[r^(2)+2az]^(1/2)=r[1+(az)/(r^(2))]`
`:. 1/(r_(2)) = 1/r (1+(az)/(r^(2)))^(-1) = 1/r (1-(az)/(r^(2)))`.
अतः बिंदु P पर परिणामी विभव,
`V =V_(1)+V_(2)=(1)/(4piin_(0))[(q)/(r_(1)) +(-q)/(r_(2))]`
`= (q)/(4piin_(0))(1)/(r)[(1+(az)/(r^(2)))-(1-(az)/(r^(2)))]= (q)/(4piin_(0)).(2az)/(r^(3))`
`= (1)/(4piin_(0))((q.2a))/(r^(2))z/r = (1)/(4piin_(0)) (pcostheta)/(r^(2))` [क्योकि `z=rcos theta` ]
स्पष्टत: r की तुलना में a का मान उपेक्षणीय रहने पर द्विध्रुव के कारण विभव की r पर निर्भरता `r^(2)` की व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात`V prop 1/(r^(2))`.