किसी वृत्तीय धारावाही कुंडली (current - carrying circular coil) के अक्ष पर केंद्र से x दुरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण,
`B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(R^(2)+x^(2))^(3//2))`
जहाँ I = प्रवाहित विद्दुत-धारा, N = फेरो की संख्या , R = कुंडली की त्रिज्या है।
(a) उपर्युक्त समीकरण से कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सुपरिचित व्यंजक `(B=(mu_(0)NI)/(2R))` आप किस प्रकार प्राप्त करेंगे ?
(b) फेरो की बराबर संख्या N तथा समान त्रिज्या R की दो वृत्तीय धारावाही कुंडलियाँ समाक्षीय (coaxially) रूप से परस्पर समांतर रखी गई है ताकि उनके केंद्र के बीच R दुरी हो। यदि दोनों में एक ही विद्दुत-धारा I एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही हो तो, प्रमाणित करे कि कुंडलियों के बीच लगभग उनके मध्यबिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र बहुत अल्प दुरी के लिए जो R से कम है, लगभग एकसमान (approximately uniform) है जिसका परिमाण `B=0।72(mu_(0)NI)/(R)` (लगभग)।
[ उपर्युक्त वर्णित व्यवस्था हेल्महोल्ट्रोज गैलवेनोमीटर (Helmholtz galvanometer) के निर्माण में प्रयुक्त होती है।]

Explanation

(a) वृत्तकार धारावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए प्रश्न में दिए गए समीकरण में x = 0 रखने पर,
`(B)_(x=0)=[(mu_(0)IR^(2)N)/(2(R^(2)+x^(2))^(3//2))]_(x=0)`
`=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(R^(2))^(3//2))=(mu_(0)IN)/(2R)`
चुंबकीय क्षेत्र का यह मान धारावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सुपरिचित व्यंजक है।
(b) वृत्तकार धारावाही कुंडली के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण कुंडली के केंद्र पर महत्तम रहता है तथा इसके अक्ष के अनुदिश घटता जाता है। समांतर रूप से व्यवस्थित धारावाही कुंडली के कारण उनके बीच `x=(R)/(2)` दुरी पर कुंडली 1 के कारण दुरी के साथ जिस दर से परिणामी चुंबकीय क्षेत्र एक छोटे परास में लगभग एकसमान रहता है। अतः, `x=(R)/(2)` पर धारावाही कुंडली के ऐसे युग्म के कारण परिणामी चुंबकीय क्षेत्र,
`B=B_(1)+B_(2)=2B_(1)" "[:'B_(1)=B_(2)]`
`=2xx(mu_(0)INR^(2))/(2(R^(2)+x^(2))^(3//2))=(mu_(0)NIR^(2))/((R^(2)+(R^(2))/(4))^(3//2))" "("":'x=(R)/(2))`
`=(mu_(0)NIR^(2))/(((5)/(4)R^(2))^(3//2))=(8)/(5sqrt5)(mu_(0)NI)/(R)`
`=0।7155(mu_(0)NI)/(R)=0।72(mu_(0)NI)/(R)` प्रमाणित।