एक श्रेणीबद्ध L-C-R परिपथ को 230 V के प्रत्यावर्ती स्रोत से जोड़ा गया है । परिपथ में `L = 0.12 H, C = 480 nF, R = 23 Omega` है तथा स्रोत की आवृत्ति को इच्छानुसार परिवर्तित किया जा सकता है ।
(a) स्रोत की वह आवृत्ति ज्ञात करें जिसपर धारा - आयाम (current amplitude) महत्तम है । इस महत्तम मान को ज्ञात करें ।
(b)परिपथ द्वारा अवशोषित शक्ति का मान स्रोत की किस आवृत्ति पर महत्तम होगा ? इस महत्तम अवशोषित शक्ति का मान ज्ञात करें ।
(c) स्रोत की किस आवृत्ति के लिए परिपथ द्वारा अवशोषित शक्ति अनुनादी आवृत्ति पर शक्ति की आधी है ? इन आवृत्तियों पर धारा का शिखर मान ज्ञात करें ।
(d) दिए गए परिपथ के लिए Q- गुणक (Q-factor) कितना है ?

Explanation

प्रश्न से , श्रेणीबद्ध L-C-R परिपथ में ,
`L = 0.12 H, C = 480 n F = 480 xx 10^(-9)F, R = 23 Omega`, आभासी वोल्टता `E_(v) = 230 V`
(a) L-C-R परिपथ में अनुनाद (resonance) की स्थिति में धारा का आयाम महत्तम होता है ।
सिद्धांत से अनुनादी कोणीय आवृत्ति ,
`omega_(r) = 1/sqrt(LC) = 1/sqrt((0.12 H)(480 xx 10^(-9)F)) = 100000/sqrt(12 xx 48)" rad "s^(-1) = 4167" rad " s^(-1)`
`:. ` आवृत्ति , `f_(r) = omega_(r)/(2 pi) =(4167)/(2 xx 3.14) Hz = 663.5 Hz approx 663 Hz`.
अनुनाद की स्थिति में धारा का शिखर मान ,
`I_(0) = E_(0)/R = (sqrt2 E_(v))/E = (1.414(230V))/((23 Omega)) = 14.14 A.`
(b) अनुनादी आवृत्ति `(f_(r) = 663 Hz)` पर परिपथ द्वारा अवशोषित शक्ति महत्तम होती है ।
अनुनाद की स्थिति में परिपथ द्वारा माध्य अवशोषित शक्ति ,
`P_(av) = E_(v)*I_(v) * cos phi = E_(v) * E_(v)/Z cos phi `
` = E_(v)^(2)/R cos 0^(@)" "[:'"अनुनाद पर " Z = R, phi = 0^(@)]`
` = ((230 V)^(2))/(23 Omega) = 2300 W`.
(c) चित्र `2.5-5` के अनुसार ,`omega_(1)" तथा " omega_(2)` आवृत्तियों पर परिपथ द्वारा अवशोषित शक्ति अनुनाद पर शक्ति `P_(0)` की आधी है । सिद्धांत से ,`omega_(1) = omega_(r) - Delta omega" तथा " omega_(2) = omega_(r) + Deltaomega,`
जहाँ `Delta omega = R/(2L)"या " 2 pi * Delta f = R/(2L)`
या `Deltaf = R/(4pi L) = ((23 Omega))/(4(3.14)(0.12H))= 15.26 Hz approx 15 Hz.`
`:. `अभीष्ट आवृत्ति `f = f_(r) pm Delta f = (663 pm 15) Hz = 648 Hz " तथा " 678 Hz`.

इन आवृत्तियों पर यदि धारा का शिखर मान I हो , तो अवशोषित शक्ति `P propto I^(2)` से,
`P/P_(0) = (I/I_(0))^(2)" या " 1/2 = (I/I_(0))^(2)" "[:' P = P_(0)/2]`
` :. ` धारा का अभीष्ट मान , `I = 1/sqrt2 I_(0) = (14.14 A)/(1.414) = 10 A.`
(d) परिपथ का Q-गुणक ,
`Q = (omega_(r)L)/R = ((4167 s^(-1))(0.12 H))/((23 Omega)) = 21.7.`