Prove that: `t a nA+tan(60^0+A)-t a n(60^0-A)=3t a n3A`Let's use the sum-of-angles formula for tangent,

`tan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanx tany)`, along with `tan60º = √3`

`tan(60º ± A) = (√3 ± tanA) / (1 ∓ (√3) tanA)`

`= (1 ± (√3) tanA) (√3 ± tanA) / (1 - 3 tan²A)`

`= (3 ± 4 tanA + (√3) tan²A) / (1 - 3 tan²A)`

`tanA + tan(60º + A) - tan(60º - A)`

`= tanA + 8 tanA / (1 - 3 tan²A)`

`= tanA (1 - 3 tan²A + 8) / (1 - 3 tan²A)`

`= 3tanA (3 - tan²A) / (1 - 3 tan²A)`

`tan2A = 2tanA / (1 - tan²A)`

`tan3A = tan(2A + A)`

`= (tan2A + tanA) / (1 - tan2A tanA)`

`= (2tanA + tanA(1 - tan²A)) / ((1 - tan²A) - 2tanA tanA)`

`= tanA (3 - tan²A)) / (1 - 3tan²A)`

Explanation

Let's use the sum-of-angles formula for tangent,


`tan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanx tany)`, along with
`tan60º = √3`



`tan(60º ± A) = (√3 ± tanA) / (1 ∓ (√3) tanA)`


`= (1 ± (√3) tanA) (√3 ± tanA) / (1 - 3 tan²A)`


`= (3 ± 4 tanA + (√3) tan²A) / (1 - 3 tan²A)`



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