Prove that: `cotA+"cot"(60^0+A)-cot(60^0-A)=3cot3A`

Explanation

L. H.S. `=cot A+cot (60^{circ}+A)-cot (60^{circ}-A)`


`=frac{1}{tan A}+frac{1}{tan (60^{circ}+A)}-frac{1}{tan (60^{circ}-A)}`


`=frac{1}{tan A}+frac{1-tan 60^{circ} tan A}{tan 60^{circ}+tan A}-frac{1+tan 60^{circ} tan A}{tan 60^{circ}-tan A}`


`=frac{1}{tan A}+frac{1-sqrt{3} tan A}{sqrt{3}+tan A}-frac{1+sqrt{3} tan A}{sqrt{3}-tan A}`


`=frac{1}{tan A}+frac{(1-sqrt{3} tan A)(sqrt{3}-tan A)-(1+sqrt{3} tan A)(sqrt{3}+tan A)}{=}`


`=frac{1}{tan A}+(frac{-8 tan _{3} A}{3-tan ^{2} A})`


`=frac{3-tan 2 A)(sqrt{3}+tan A)}{tan A(3-tan ^{2} A)}`


`=frac{3(1-3 tan ^{2} A)}{3 tan A-tan ^{3} A}`


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