`cos(pi/15)cos((2pi)/15)cos((3pi)/15)cos((4pi)/15)cos((5pi)/15)cos((6pi)/15)cos((7pi)/15)` = `1/2^7`

Explanation

`L H S=cos frac{pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15} cos frac{3 pi}{15} cos frac{5 pi}{15} cos frac{6 pi}{15} cos frac{7 pi}{15}`


`=cos frac{pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15}(cos frac{3 pi}{15} cos frac{6 pi}{15}) times(-cos frac{8 pi}{15})`


`=-frac{1}{2}[cos frac{pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15} cos frac{8 pi}{15}] times frac{1}{2} times(cos frac{3 pi}{15} cos frac{6 pi}{15})`


`=-frac{1}{2} times frac{2^{3}}{2^{4} sin frac{pi}{15}}[2 sin frac{pi}{15} cos frac{pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15} cos frac{8 pi}{15}] times frac{2}{2^{2} times sin frac{3 pi}{15}}(2 sin frac{3 pi}{15} cos frac{3 pi}{15} cos frac{6 pi}{15})`


`=-frac{2^{3}}{132 sin frac{pi}{15}}[sin frac{2 pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15} cos frac{8 pi}{15}] times frac{2}{4 sin frac{3 pi}{15}}(sin frac{6 pi}{15} cos frac{6 pi}{15})`


`=-frac{2^{2}}{32 sin frac{pi}{15}}[2 sin frac{2 pi}{15} cos frac{2 pi}{15} cos frac{4 pi}{15} cos frac{8 pi}{15}] times frac{1}{4 sin frac{3 pi}{15}}(2 sin frac{6 pi}{15} cos frac{6 pi}{15})`


`=-frac{2}{32 sin frac{pi}{15}}[sin frac{8 pi}{15} cos frac{8 pi}{15}] times frac{sin frac{12 pi}{15}}{4 sin frac{3 pi}{15}}`


`=-frac{1}{32 sin frac{pi}{15}}[sin frac{16 pi}{15}] times frac{sin frac{12 pi}{15}}{4 sin frac{3 pi}{15}}`


...