Evaluate: `int(cos5x+cos4x)/(1-2cos3x)\ dx`

Explanation

`text { Let } I=int frac{(cos 5 x+cos 4 x)}{1-2 cos 3 x} d x`

`=int frac{2 cos frac{5 x+4 x}{2} cdot cos frac{5 x-4 x}{2}}{1-2(2 cos ^{2} frac{3 x}{2}-1)} d x`

`=int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2}}{1-4 cos ^{2} frac{3 x}{2}+2} d x`

`=int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2}}{3-4 cos ^{2} frac{3 x}{2}} d x`

`=-int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2}}{4 cos ^{2} frac{3 x}{2}-3} d x`

`=-int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2} cdot cos frac{3 x}{2}}{4 cos ^{2} frac{3 x}{2}-3 cos frac{3 x}{2}} d x quad ldots .[text { Multiplying and dividing by } cos frac{3 x}{2}]`

`=int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2} cdot cos frac{3 x}{2}}{cos 3 cdot frac{3 x}{2}} d x quad ldots ldots[because cos 3 x=4 cos ^{3} x-3 cos x]`

`=-int frac{2 cos frac{9 x}{2} cdot cos frac{x}{2} cdot cos frac{3 x}{2}}{cos frac{9 x}{2}} d x`

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