[1a^(2)+bca^(3)],[1b^(2)+cab^(3)],[1c^(2)+abc^(3)]=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^(2)+b^(2)+c^(2))

|(1,a^(2)+bc,a^(3)),(1,b^(2)+ac,b^(3)),(1,c^(2)+ab,c^(3))|=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^(2)+b^(2)+c^(2))

Prove: |[1,a^2+bc, a^3],[ 1,b^2+c a, b^3],[ 1,c^2+a b, c^3]|=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2)

Prove |{:(1,a^2+bc,a^3),(1,b^2+ca,b^3),(1,c^2+ab,c^3):}|=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2)

If |[a,a^(2),1+a^(3)],[b,b^(2),1+b^(3)],[c,c^(2),1+c^(3)]|=0" and "|[a,a^(2),1],[b,b^(2),1],[c,c^(2),1]|!=0 then show that abc =-1

If a,b,c are in G.P.,prove that: a(b^(2)+c^(2))=c(a^(2)+b^(2))A^(2)b^(2)c^(2)((1)/(a^(3))+(1)/(b^(3))+(1)/(c^(3)))=a^(3)+b^(3)+c^(3)((a+b+c)^(2))/(a^(2)+b^(2)+c^(2))=(a+b+c)/(a-b+c)(1)/(a^(2)-b^(2))+(1)/(b^(2))=(1)/(b^(2)-c^(2))(a+2b=2c)(a-2b+2c)=a^(2)+4c^(2)

If [[a,a^(2),a^(3)-1b,b^(2),b^(3)-1c,c^(2),c^(3)-1]]=0

Prove: a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc=(1)/(2)(a+b+c){(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)}

Verify : a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc=(1)/(2)(a+b+c)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]

Without expanding, prove the following |(a^3+1,a^2,a),(b^3+1,b^2,b),(c^3+1,c^2,c)|=-(a-b)(b-c)(c-a)(abc+1)

Prove that a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc=(1)/(2)(a+b+c){(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)}