In a triangle `O A B ,\ /_A O B=90^0dot` If `P\ a n d\ Q` are points of trisection of `A B` prove that `O P^2+O Q^2=5/9A B^2dot`

Explanation

Given that,
In a triangle `O A B ,\ /_A O B=90^0`
`P\ a n d\ Q`
are points of trisection of `A B`
`AP:PB=1:2`
`AQ:QB=2:1`
`vec (OP)=(2 veca + vec b)/3`
`vec (OQ)=(vec a+2 vecb)/3`
`LHS=O P^2+O Q^2`
`=|vec(OP)|^2+|vec(OQ)|^2`
`=((2veca+vec b)/3)*((2vec a+vec b)/3)+((vec a+2 vec b)/3)*((vec a+2 vec b)/3)`
`=(4|vec a|^2+4 vec avec b+|vec b|^2+|vec a|^2+4 vec a vec b +4|vec b|^2)/9`
`=(5|vec a|^2+5|vec b|^2)/9`
`=5/9 (|vec a|^2+|vec b|^2)`
`=5/9 (AB)^2`
`=RHS`