Find the distance between the lines `l_1a n d\ l_2` given by ` -> r= hat i+2 hat j-4 hat k+lambda(2 hat i+3 hat j+6 hat k)a n d\ ,\ -> r=3 hat i+3 hat j-5 hat k+mu(2 hat i+3 hat j+6 hat k)dot`

Find the shortest distance between the lines: -> r=6 hat i+2 hat j+2 hat k+lambda( hat i-2 hat j+2 hat k)a n d\ -> r=-4 hat i- hat k+mu(3 hat i-2 hat j-2 hat k)dot

Let the line of the shortest distance between the lines L_1 : vec r = (hat i 2 hat j 3 hat k) lambda (hat i - hat j hat k) and L_2 : vec r = (4 hat i 5 hat j 6 hat k) mu (hat i hat j - hat k) intersect L_1 and L_2 at P and Q respectively. If (alpha, beta, gamma) is the mid point of the line segment PQ, then 2(alpha beta gamma) is equal to ___________.

Find the angle between the following pairs of lines: -> r=(3 hat i+2 hat j-4 hat k)+lambda( hat i+2 hat j+2 hat k)a n d\ -> r=(5 hat i-2 hat k)+mu(3 hat i+2 hat j+6 hat k)dot

Find the angle between the lines -> r=(2 hat i-5 hat j+ hat k)+lambda(3 hat i+2 hat j+6 hat k)a n d\ -> r=7 hat i-6 hat k+mu( hat i+2 hat j+2 hat k)dot

Find the shortest distance between the following pairs of parallel lines whose equation are: -> r=( hat i+2 hat j+3 hat k)+lambda( hat i- hat j+ hat k)a n d\ -> r=(2 hat i- hat j- hat k)+mu(- hat i+ hat j- hat k) .

Find the angle between the following pairs of lines: -> r=(4 hat i- hat j)+lambda( hat i+2 hat j-2 hat k)a n d\ -> r= hat i- hat j+2 hat k-mu(2 hat i+4 hat j-4 hat k)dot

Find the distance between the lines L_(1) and L_(2) given by : vec(r) = hat(i) + 2 hat(j) - 4 hat(k) + lambda (2 hat(i) + 3 hat(j) + 6 hat(k)) and vec(r) = 2 hat(i) + 3 hat(j) - 5 hat(k) + mu (2 hat(i) + 3 hat(j) + 6 hat(k)) .

A line passes through (2, -1, 3) and is perpendicular to the line -> r=( hat i+ hat j- hat k)+lambda(2 hat i-2 hat j+ hat k)a n d\ -> r=(2 hat i- hat j-3 hat k)+mu( hat i+2 hat j+2 hat k)dot obtaining its equation.

vec r=(4hat i-hat j)+lambda(hat i+2hat j-3hat k) and vec r=(hat i-hat j+2hat k)+mu(2hat i+4hat j-5hat k)

By computing the shortest distance determine whether the following pairs of lines intersect or not : -> r=( hat i+ hat j- hat k)+lambda(3 hat i- hat j)a n d\ -> r=(2 hat i- hat k)+mu(2 hat i+2 hat k)dot