निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्वारा स्थापना कीजिए :
(a) `|a+b|le|a|+|b|`
(b) `|a+b|ge||a|-|b||`
(c) `|A-b|le|a|+|b|`
(d) `|A-b|ge||a|-|b||`
इनमें समीका ( समता ) का चिह्न कब लागू होता है ?

Explanation

माना दो सदिशों a तथा b को त्रिभुज OPQ की क्रमशः भुजाओं OP तथा OQ द्वारा प्रदर्शित किया गया है तथा उसका परिमाण OQ सदिश `(a+b)` द्वारा प्रदर्शित किया गया है ।
( a ) त्रिभुज के गुणों से , किसी त्रिभुज की एक भुजा, उसकी शेष दो भुजाओं के योग से सदैव कम होती है ।
`therefore DeltaOPQ` में,

`OQ lt OP+PQ`
`|a+b|lt|a|+|b|" ...(i)"`
हम जानते हैं कि दो सदिशों के बीच कोण से प्राप्त परिणामी सदिश का परिमाण
`|a+b|=sqrt(a^(2)+b^(2)+2abcos theta)`
यदि दोनों सदिश समान दिशा में कार्यरत हैं, तो `theta=0`
`therefore" "|a+b|=sqrt(a^(2)+b^(2)+2ab)" "(therefore cos theta=1" जब "theta=0)`
`" "=sqrt((a+b)^(2))`
या `" "|a+b|=|a|+|b|" ...(ii)"`
समीकरण (i ) व (ii ) से,
`|a +b|le|a|+|b|`
दोनों पक्ष समान होंगे जब दोनों सदिश a तथा b समान दिशा में एक ही रेखा के अनुदिश हों।
त्रिभुज के गुणों से त्रिभुज की एक भुजा शेष दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है।
अतः `DeltaOPQ` में,`" "OQ gt |OP-PQ|`
[नोट : यदि PQ OP से बड़ा है अर्थात `PQ gt OP` तो यह ऋणात्मक हो सकता है।]
`|a+b|gt|a|-|b|" ...(iii)"`
यदि दिए गए दोनों सदिश एक ही रेखा में विपरीत दिशा में कार्यरत हों, तब
`|a+b|=|a|-|b|" ...(iv)"`
समीरकण (i ) व (iv ) से,
यदि सदिश a व b एक ही सरल रेखा में परस्पर विपरीत दिशा में कार्यरत है तो समानता चिन्ह मान्य होगा ।
(c) यदि PR सदिश `-b` को तथा सदिश a व `-b` का परिणामी OR के द्वारा प्रदर्शित हो तब
त्रिभुज के गुणों से, किसी त्रिभुज की एक भुजा उसकी शेष दो भुजाओं की लम्बाइयों के योग से कम होती है।
`therefore DeltaOPR` में,`" "OR lt OP lt PR`
`" "|a-b|lt|a|+|-b|`
परन्तु `|-b|=|b|,` क्योंकि किसी सदिश का परिमाण सदैव धनात्मक होता है।
या `" "|a-b|lt|a|+|b|" ...(v)"`
यदि सदिश a तथा b एक सरल रेखा में परस्पर विपरीत दिशा में कार्यरत हैं, तो
`" "|a-b|=|a|+|b|" ...(vi)"`
समीकरण (v ) व (vi ) से,
`|a-b|le|a|+|b|`

(d) त्रिभुज के गुणों से, त्रिभुज की भुजा इसकी शेष दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है।
`therefore DeltaPQR` में, `" "OR gt|OP-PR|`
[पुनः `(OP-PR)` का परिमाण लिया गया है, क्योंकि PR, OP से अधिक हो सकता है।]
`therefore" "|a-b|gt|a|-|-b|`
`" "|a-b|gt|a|-|b|" ...(vii)"`
यदि सदिश a तथा b एक ही सरल रेखा में समान दिशा में हैं।
तब `" "|a-b|gt|a|-|b|" ...(viii)"`
समीरकण (vii) व (viii) से,
`" "|a-b|ge|a|-|b|`
समानता चिन्ह मान्य होगा । यदि सदिश a व b एक ही सरल रेखा में समान दिशा में हों।