किसी खुले मैदान में कोई मोटर चालक एक ऐसा रास्ता अपनाता है जो प्रत्येक 500 मीटर के बाद उसके बाईं ओर `60^(@)` के कोण पर मुड़ जाता है । किसी दिए मोड़ से शुरू होकर मोटर चालक का तीसरे , छठे व आठवें मोड़ पर विस्थापन बताइए । प्रत्येक स्थिति में मोटर चालक द्वारा इन मोड़ों पर तय की गई कुल पथ - लंबाई के साथ विस्थापन के परिमाण की तुलना कीजिए ।

Explanation

चित्र 4.52 में, मोटर चालक प्रत्येक 500 मीटर दूरी तय करने के बाद बायीं ओर `60^(@)` के कोण पर मुड़ जाता है । अत : वह एक षट्भुज ( Hexagon ) पथ पर गति कर रहा है । यदि मोटर चालक बिंदु A से गति प्रारंभ करता है , तो वह तीसरा मोड़ D पर , छठा मोड़ A पर तथा आठवाँ मोड़ C पर लेगा ।
(i) तीसरे मोड़ पर मोटर चालक का विस्थापन `AD=AO+OD`
`=500+500`
= 1000 मीटर (या 1 किमी)
तथा पथ की कुल लम्बाई `=AB+BC+CD`
`=500+500+500=1500` मीटर (या 1.5 किमी)
`therefore" "("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=(1000)/(1500)=(2)/(3)=0.67.`
(ii) छठे मोड़ पर मोटर चालक अपनी प्रारंभिक स्थिति A पर होगा । अतः छठे मोड़ पर मोटर चालक का विस्थापन = 0
पथ की कुल लम्बाई `=AB+BC+CD+DE+EF+FA`
`=500+500+500+500+500=3000` मीटर (या 3 किमी)
`therefore" "("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=(0)/(3000)=0.`
आठवे मोड़ पर मोटर चालक का विस्थापन,
`AC=sqrt((AB)^(2)+(BC)^(2)+2AB.BC cos 60^(@))`
`=sqrt((500)^(2)+(500)^(2)+2xx500xx500xx(1)/(2))`
`=sqrt(3xx(500)^(2))`
`=500sqrt3`
`=500xx1.732` मीटर
`=866.03` (या 866 मीटर)
यदि AB तथा AC के बीच का कोण `beta` है, तो
`tan beta=(500 sin 60^(@))/(500+500 cos 60^(@))=(500xx(sqrt3)/(2))/(500+500xx(1)/(2))=(250sqrt3)/(500+250)`
`=(250sqrt3)/(750)=(sqrt3)/(2)`
या `" "tan beta=(1)/(sqrt3)=tan30^(@)`
या `" "beta=30^(@)`
पथ की कुल लम्बाई `=8xx500=4000` मीटर (या 4 मीटर)
`therefore" "("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=(500sqrt3)/(4000)=(sqrt3)/(8)`
`=(1.732)/(8)=0.216`