किसी 200 मीटर ऊँची खड़ी चट्टान के किनारे से दो पत्थरो को एक साथ ऊपर की ओर 15 मीटर/सेकण्ड तथा 30 मीटर/सेकण्ड की प्रारंभिक चाल से फेंका जाता है । इसका सत्यापन कीजिए कि नीचे दिखाया गया ग्राफ (चित्र 3.59) पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की आपेक्षिक स्थिति का समय के साथ परिवर्तन को प्रदर्शित करता है वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानिए और यह मानिए कि जमीन से टकराने के बाद पत्थर ऊपर की ओर उछलते नहीं । मान लीजिए `g=10" मीटर/सेकण्ड"^(2)` | ग्राफ के रेखीय व वक्रीय भागो के लिए समीकरण लिखिए ।

Explanation

पहले पत्थर के लिए : प्रारम्भिक स्थिति (जमीन से सापेक्ष) `x_(0)=200` मीटर प्रारम्भिक वेग `u_(1)=15` मीटर/सेकण्ड तथा त्वरण `a=-g=-10" मीटर/सेकण्ड"^(2)` (नीचे की ओर)
t समय बाद पहले पत्थर की स्थिति `x_(1)=x_(0)+u_(1)t+(1)/(2)at^(2)" "` . . .(i)
या `" "x_(1)=200+15t+(1)/(2)(-10)t^(2)`
जब पत्थर जमीन से टकराता है `" "x_(1)=0`
इस प्रकार `" "0=200+15t-5t^(2)`
या `" "t^(2)-3t-40=0`
या `" "(t+5)(t-8)0`
या `" "t=-5` सेकण्ड या `t=8` सेकण्ड
चूँकि पत्थर को `t=0` पर फेंका गया था, इस प्रकार t का ऋणात्मक मान सम्भव नहीं होगा । अतः पत्थर जमीन से 8 सेकण्ड बाद टकराता है ।
दूसरे पत्थर के लिए : प्रारम्भिक स्थिति `x_(0)=200` मीटर, प्रारम्भिक वेग `u_(2)=300" मीटर/सेकण्ड"^(2)` तथा त्वरण `a=-10" मीटर/सेकण्ड"^(2)`
t समय बाद इसकी स्थिति `" "x_(2)=x_(0)+u_(2)t+(1)/(2)at^(2)" "` . . .(ii)
या `" "x_(2)=2000+30t+(1)/(2)(-10)t^(2)" " ` . . . (iii)
जब पत्थर जमीन से टकराता है, `" "x_(2)=0`
इस प्रकार `" "0=200+30-5t^(2)`
या `" "t^(2)-5t-40=0`
`" "(t+4)(t-10)=0`
या `" "t=-4` सेकण्ड या `t=10` सेकण्ड
t का ऋणात्मक मान इस स्थिति में भी संभव नहीं है अतः दूसरा पत्थर जमीन से 10 सेकण्ड बाद टकराता है |
8 सेकण्ड तक, पहले के सापेक्ष दूसरे पत्थर की तुलनात्मक स्थिति का मान समीकरण (i) व (ii) से, `" "x_(2)-x_(1)=(u_(2)-u_(1))t`
`" "=(30-15)t`
या `" "x_(2)-x_(1)=15t" "` (iv)
समीकरण (iv) दोनों पत्थरो का रैखिक पथ दर्शाता है, `(x_(2)-x_(1))` तथा `t_(1)` बीच रैखिक समीकरण के कारण, ग्राफ (चित्र 3.59) में 8 सेकण्ड तक वक्र सरल रेखा होती है ।
`t=8` सेकण्ड में दोनों पत्थरो के बीच अधिकतम दूरी,
`(x_(2)-x_(1))_("अधिकतम")=15xx8=120` मीटर (ग्राफ से)
सेकण्ड बाद, सिर्फ दूसरा पत्थर ही गतिमान होगा जब तक कि वह `t=10` सेकण्ड पर जमीन से टकराता है इस प्रकार समीकरण (iii) से 8 सेकण्ड तथा 10 सेकण्ड के बीच की गति अर्थात `x_(2)=200+30t-5t^(2)` होगी ।
यह एक द्विघात समीकरण है अतः यह ग्राफ के वक्र भाग को दर्शाती है | `t=10` सेकण्ड बाद दोनों पत्थर की स्थिति जमीन पर होगी तथा दोनों के बीच दूरी शून्य होगी ।