गॉस प्रमेय लिखिए एवं सिध्द कीजिए।

Explanation

गॉस प्रमेय – किसी बन्द पृष्ठ से गजरने वाला सम्पूर्ण विघुत फलक्स उस बन्द पृष्ठ के अन्दर उपस्थित कुल आवेश q का `(1)/(epsilon_(0))` गुना होता है।
सूत्र रूप में फलक्स `phi = (1)/(epsilon_(0)) q`

उपपत्ति – माना कि S कोई बन्द पृष्ठ है। इसके अन्दर O‌ बिन्दु पर विघुत क्षेत्र की तीव्रता
`vec(E ) = (1)/(4 pi epsilon_(0)) , (q)/(r^(2))`
तथा बिन्दु P घेरे हुए क्षेत्र फल ds से गुजरने वाला फलक्स
`dphi = vec( E) . vec( ds)`
या `dphi = Eds cos phi `
सम्पूर्ण पृष्ठ S से गुजरने वाला फलक्स
`underset( S ) (int int ) d phi = underset(S ) ( int int ) E ds cos theta`
समी . (2) में समी .(1) से E का मान रखने पर
`phi = underset(S ) (int int ) (1)/(4pi epsilon_(0)) (q)/(r^(2)) ds cos theta`
`phi = (1)/(4 pi epsilon_(0)) q underset(S ) (int int ) (ds cos theta)/(r^(2))`
` phi = (1)/(4 pi epsilon_(0)) q. omega`
यहाँ `omega` घन कोण है।
परन्तु यहाँ बिन्दु O पर बन्द पृष्ठ S द्वारा बनाया गया घन कोण `4pi` होगा अत
`phi = (1)/(4 pi epsilon_( 0) ) xx q xx 4pi`
`phi = (1)/(epsilon_(0)) q`