सिद्ध कीजिए कि बहते हुए द्रव की ऊर्जाओं का योग सदैव नियत रहता है।

Explanation

बरनौली प्रमेय-यदि प्रवाह नलिका घर्षण रहित हो, उसमें से प्रवाहित द्रव आदर्श हो, द्रव का प्रवाह धारा रेखीय हो, तो प्रवाह मार्ग के प्रत्येक बिन्दू पर द्रव के एकाक आयतन की समस्त ऊर्जाओं (अर्थात् दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा व स्थितिज ऊर्जा) का योग नियत रहता है। अर्थात् `P+1/2 rhov^2 + rho gh` = नियतांक
उपपत्ति-माना कि MN कोई प्रवाह नलिका है, जिसके A एवं B स्थानों पर अनुप्रस्थ क्षेत्रफल क्रमश: `a_1` एवं `a_2`हैं। A अनुप्रस्थ काट पर दाब `P_1` और द्रव वेग `v_1` है, B पर दाब `P_2` तथा वेग- `v_2` है। इन अनुप्रस्थ क्षेत्रफलों की पृथ्वी तल से औसत ऊँचाईयाँ क्रमश: `h_1` तथा `h_2` हैं। अत: `a_1` अनुप्रस्थ क्षेत्रफल पर प्रति सेकण्ड द्रुव की दाब ऊर्जा = `P_1a_1v_1` तथा `a_2` अनुप्रस्थ क्षेत्रफल पर द्रव की दाब ऊर्जा = `P_2a_2v_2`
परिणामी दाब ऊर्जा = `P_1a_1v_1-P_2a_2v_2`
सातत्य समी। से, `a_1v_1=a_2v_2=av` = प्रति सेकण्ड प्रवाहित द्रव आयतन
यदि प्रति सेकण्ड d घनत्व के द्रव का m द्रव्यमान प्रवाहित होता है।
तब `av=m/d` [ `because` आयतन =`"द्रव्यमान"/"घनत्व"` ]
अत: परिणामी दाब ऊर्जा =`(P_1-P_2) m/d`
यह परिणामी दाब ऊर्जा, द्रव की स्थितिज एवं गतिज ऊरजाओं की वृद्धि में व्यय होती है, अर्थात् परिणामी दाब ऊर्जा = (स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा ) में वृद्धि
अर्थात् वृद्धि
`(P_1-P_2)m/d=(mgh_2-mgh_1)+(1/2mv_2^2-1/2mv_1^2)`
`therefore (P_1-P_2) m/d =m [gh_2 -gh_1 + 1/2v_2^2 - 1/2v_1^2]`
`therefore (P_1-P_2)=d[gh_2-gh_1 + 1/2v_2^2 - 1/2v_1^2]`
`therefore P_1+dgh_1+1/2dv_1^2 = P_2+dgh_2 + 1/2dv_2^2`
`therefore P + dgh + 1/2 dv^2 =K`

अर्थात् एकांक आयतन की समस्त ऊजाओं का योग नियत है । यही बरनौली प्रमेय है।