मेयर के सूत्र `C_p-C_v=R` क्या है ? लिखिए तथा सिद्ध कीजिए।

Explanation

समीकरण `C_P - C_V= R` मेयर का समीकरण कहलाता है, जहाँ `C_P` स्थिर दाब पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा, `C_V` स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा तथा R गैस नियतांक है।
मेयर के सूत्र `C_P-C_V=R ` का निगमन-माना 1 मोल आदर्श गैस का प्रारम्भिक ताप T, दाब P तथा आयतन V है। अब गैस की अवस्था में निम्नलिखित दो प्रकार से परिवर्तन किया जाता है-
(i) गैस का आयतन स्थिर रखकर-ताप T से `T+DeltaT` किया जाता है। इस प्रक्रम में गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा `Delta Q = C_V Delta T " " ....(1)`

जहाँ `C_V` नियत आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
चूँकि इस प्रक्रम में आयतन स्थिर रहता है (अर्थात् `DeltaV` = 0), अतः गैस द्वारा किया गया कार्य `Delta W = 0 " " ....(2)`
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, इस प्रक्रम में आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन
`DeltaU = DeltaQ - DeltaW = C_V Delta T " " ....(3)`
(ii) गैस का दाब स्थिर रखकर-ताप T से `T +Delta T` किया जाता है। इस प्रक्रम में गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा `DeltaQ' = C_P Delta T " " ...(4)`
जहाँ `C_P` नियत दाब पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
चूँकि इस प्रक्रम में दाब स्थिर (= P) रहता है तथा आयतन V से बढ़कर `V+Delta V` हो जाता है। अतः गैस द्वारा किया गया कार्य ` DeltaW' = P DeltaV " " ...(5)`
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, इस प्रक्रम में आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन
`DeltaU' = DeltaQ' - DeltaW'`
`DeltaU' = C_P Delta T - P Delta V " " ....(6)`
चूँकि आदर्श गैस की आन्तरिक ऊर्जा केवल उसके ताप पर निर्भर करती है, अतः आदर्श गैस का ताप T से `T+DeltaT` करने में आन्तरिक ऊर्जा में वृद्धि समान होगी, चाहे आयतन स्थिर रखा जाए या दाब स्थिर रखा जाए, अर्थात्
` DeltaU = Delta U'`
अतः समीकरण (3) व (6) से
` C_V = Delta T = C_P Delta T - P Delta V`
`(C_P - C_V) Delta T = P Delta V " " ...(7)`
चूँकि प्रारम्भिक स्थिति में गैस का दाब P, आयतन V व ताप T है, अतः
`PV = RT " " ...(8)`
अन्तिम स्थिति में दाब स्थिर रखकर, दाब P पर गैस का आयतन `V+DeltaV` व ताप `T+ DeltaT` है, अत: आदर्श गैस समीकरण PV = RT से, `P( V+ DeltaV) = R( T + Delta T) " " ....(9)`
समीकरण (9) से समीकरण (8) घटाने पर
` P(V + Delta V) -PV = R (T+ Delta T) - RT`
` P Delta V = R Delta T " " ...(10)`
समीकरण (7) व समीकरण (10) से
` (C_P - C_V) Delta T = RDelta T`
` C_P - C_V = R " " ....(11)`
यही मेयर का सूत्र है |