रुद्धोष्म प्रसार में किये गये कार्य के लिये व्यंजक स्थापित कीजिए।

Explanation

माना कि P दाब पर 1 मोल गैस का आयतन, रुद्धोष्म विधि से `V_1` से ` V_2` तक परिवर्तित किया जाता है, सूक्ष्म आयतन परिवर्तनों dV में होकर सम्पन्न कुल कार्य
` W = int_(V_1)^(V_2) P.dv`
रुद्धोष्म प्रसार के लिये ` PV^gamma = K` (नियतांक) से, ` P = (K)/(V^gamma)`
अत: ` W = int_(V_1)^(V_2) (K)/(V^gamma) dV = int_(V_1)^(V_2) V^(-gamma) dV rArr W = k [ (V^(-gamma +1))/(-gamma+1)]_(V_1)^(V_2)`
`therefore W = (K)/(-gamma +1) [ V_2^(-gamma +1) - V_1^(-gamma +1) ] rArr W = (K)/(-gamma -1) [ V_2^(-gamma +1) - V_1^(-gamma +1)]`
`therefore W = (K)/((gamma - 1)) [ V_1^(-gamma+1) - V_2^(-gamma +1)] rArr (1)/((gamma - 1)) [ (K)/(V_1^(gamma-1)) = (K)/(V_2^(gamma - 1))] = 1`
पुन: `P_1V_1^gamma = P_2V_2 ^gamma = K` से,
कार्य, `W = (1)/((gamma - 1)) [ (P_1V_1^gamma)/(V_1^(gamma - 1)) - (P_2 V_2^gamma)/(V_2^(gamma - 1))]`
`therefore W = (1)/((gamma - 1)) [ P_1 V_1 - P_2 V_2]`
यदि `V_1` एवं `V_2` आयतनों पर गैस के ताप क्रमश: `T_1` एवं `T_2` हों, तो ` P_1 V_1 = RT_1` एवं ` P_2V_2 = RT_2`
अतः ` W = (1)/((gamma - 1)) [ RT_1 - RT_2]`
`rArr W = (R)/((gamma - 1)) [ T_4 - T_2]` यही अभीष्ट व्यंजक है।