ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के आधार पर मेयर के समीकरण `C_P -C_V=R` को सिद्ध कीजिए।

Explanation

माना कि किसी गैस की नियत आयतन व नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ क्रमश: `C_P` और `C_V` हैं। स्थिर आयतन पर 1 मोल गैस को `DeltaQ` ऊष्मा देने पर उसका ताप `Delta T` बढ़ जाता है तब
` Delta Q = C_V. Delta T`
यहाँ आयतन अपरिवर्तित है, अत: गैस द्वारा किया गया कार्य W = 0 होगा।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम
` Delta Q = DeltaU + Delta W` से,
` C_V Delta T = Delta U + 0`
अर्थात् गैस की आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन
` Delta U = C_V. Delta T`
परन्तु यदि स्थिर दाब पर उस गैस के ताप में AT वृद्धि करने के लिए दी गई ऊष्मा `= C_PDelta T ` हो, तब यह ऊष्मा `C_P Delta T` दो प्रकार से व्यय होती है :
(i) गैस की आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन करने में-चूँकि ताप परिवर्तन उतना ही (` Delta T` ) है अतः आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन
`Delta U= C_V Delta T`
(ii) गैस के आयतन में परिवर्तन में-नियत दाब P पर गैस के आयतन में परिवर्तन (`Delta V` ) में सम्पन्न कार्य
` W = P. Delta V`
अर्थात् ` C_P. Delta T = C_V . Delta T + P Delta V` lt brgt परन्तु गैस समीकरण से,
`PDeltaV = R DeltaT`
अतः ` C_P. Delta T = C_V. Delta T + R Delta T`
`therefore C_P Delta T - C_V DeltaT = R DeltaT`
` (C_P - C_V) Delta T = R Delta T`
` therefore C_P - C_V = R` इति सिद्धम्।