कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र स्थापित कीजिए ।

Explanation

A से B तक समतापी प्रसार , B से C तक रुद्धोष्म प्रसार ,C से Dतक समतापी संपीडन तथा D से A तक रुद्धोष्म संपीडन होता है ।
(1) समतापी प्रसार में आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य , स्रोत से अवशोषित ऊष्मा के बराबर होगा अर्थात
`W_(1) = Q_(1) = RT_(1) log (V_(2)/V_(1))`
(2) रुद्धोष्म प्रसार में आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य
`W_(2) = R/(gamma - 1) (T_(1) - T_(2))`
(3) समतापी संपीडन में आदर्श गैस पर किया गया कार्य सिंक को दी गयी ऊष्मा के बराबर होगा अर्थात
`W_(3) = Q_(2) = RT_(2) log (V_(3)/V_(4))`
(4) रुद्धोष्म संपीडन में आदर्श गैस पर किया गया कार्य
`W_(4) = R/(gamma - 1) (T_(1) - T_(2))`
अतः एक चक्र में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य
`W = W_(1) + W_(2) - W_(3) - W_(4)`
चूँकि `W_(2) = W_(4)`
` :. W = W_(1) - W_(3)`
` W = Q_(1) - Q_(2)`
अतः कार्नो इंजन की दक्षता `eta = (Q_(1) - Q_(2))/Q_(1) = 1 - Q_(2)/Q_(1)`
`:. eta = 1 - (RT_(2) log (V_(3)/V_(4)))/(RT_(1) log (V_(2)/V_(1))) "या " eta = 1 - (T_(2) log (V_(3)/V_(4)))/(T_(1) log (V_(2)/V_(1)))` ....(1)
चूँकि B तथा C एक ही रुद्धोष्म वक्र पर स्थित है -
`T_(1)V_(2)^(gamma-1) =T_(2)V_(3)^(gamma -1)`
या `T_(1)/T_(2) = (V_(3)/V_(2))^(gamma -1)` .....(2)
इसी प्रकार चूँकि A तथा C एक ही रुद्धोष्म वक्र पर स्थित है -
`T_(1)V_(1)^(gamma -1) = T_(2) V_(4)^(gamma -1)`
या ` T_(1)/T_(2) = (V_(4)/V_(1))^(gamma -1)` .... (3)
अतः समी (2) तथा (3)से,
`(V_(3)/V_(2))^(gamma -1) = (V_(4)/V_(1))^(gamma -1)`
या `V_(3)/V_(2) = V_(4)/V_(1) rArr V_(3)/V_(4) = V_(2)/V_(1)`
` :. log (V_(3)/V_(4)) = log (V_(2)/V_(1)) = (log (V_(3)/V_(4)))/(log (V_(2)/V_(1))) = 1`
समी (1) में मान रखने पर ,
` eta = 1 - T_(2)/T_(1)`.
यही अभीष्ट व्यंजक है ।