अणुगति सिद्धान्त के आधार पर आदर्श गैस के लिए दाब का व्यंजक ज्ञात कीजिए।
अणुगति सिद्धान्त के आधार पर आदर्श गैस के लिए दाब का व्यंजक ज्ञात कीजिए।
लिखित उत्तर
Verified by Experts
मानलो एक धनाकार खोखला बर्तन है जिसकी प्रत्येक कोर की लम्बाई l है। इस बर्तन में एक आदर्श गैस भरी है जिसके प्रत्येक अणु का द्रव्यमान m है।
मानलो कोई अणु PK दिशा में c वेग से गति कर रहा है। इस वेग को तीन घटको u, v और w जो क्रमशः X -अक्ष, Y -अक्ष और Z -अक्ष के समान्तर है, में वियोजित किया जा सकता है।
इस प्रकार `c^(2)=u^(2)+v^(2)+w^(2)` मानलो बर्तन के दो फलक A और B ,X -अक्ष के लंबवत है। यदि यह अणु फलक A पर u वेग से टकराता है, तो टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ होने के कारण यह (-u) वेग से वापस लौटे जायेगा।
टक्कर के पहले अणु का संवेग =mu
तथा टक्कर के पश्चात अणु के संवेग =-mu
अतः टक्कर के कारण अणु के संवेग में परिवर्तन =mu-(-mu)=2mu
यह अणु A से B तक पहुँचने तथा B से A तक पुनः वापस आने में 2l दुरी तय करेगा।
अणुओं को 2l दुरी तय करने में लगा समय `=(2l)/(u)`. " " `("पश्चात्" = ("दुरी")/ ("वेग "))`
स्पष्ट है कि 2l दुरी तय करने के पश्चात् अर्थात `(2l)/(u)` समय के पश्चात् वही अणु पुनः फलक A पर टकरायेगा।
अतः प्रति सेकण्ड फलक A पर टक्करों की संख्या `(u)/(2l)`
अतः प्रति सेकण्ड अणु द्वारा दीवार को प्रदान किया गया संवेग
`=2"mu"xx(u)/(2l)=("mu"^(2))/(l)`.
(अर्थात फलक A पर संवेग परिवर्तन की दर)
परन्तु न्यूटन के गति के द्वितीय नियमनुसार, संवेग परिवर्तन की दर अणु द्वारा उस फलक पर आरोपित बल के बराबर होगी।
अतः अणु द्वारा फलक A पर आरोपित दाब `=("mu"^(2))/(l)`
परन्तु `"दाब" =("बल")/ ("क्षेत्रफल")`
मानलो गैस के अणुओं की संख्या N है तथा X -अक्ष की दिशा में उनके वेगो के घटक क्रमशः `u_(1),u_(2),u_(3),.........,u_(n)` है।
अतः सम्पूर्ण अणुओं द्वारा फलक A पर आरोपित दाब,
`P_(x)=("mu"_(1)^(2))/(l^(3))+("mu"_(2)^(2))/(l^(3))+("mu"_(3)^(2))/(l^(3))+.......+("mu"_(n)^(2))/(l^(3))`
या `P_(x)(m)/(l^(3))(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
या `P_(x)=(m)/(V)(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
जहाँ ` V=t^(3)=` बर्तन का आयतन (गैस का आयतन)।
इसी तरह Y -अक्ष के लंबवत किसी फलक पर गैस के अणुओं द्वारा आरोपित दाब,
`P_(y)=(m)/(V)(v_(1)^(2)+v_(2)^(2)+v_(3)^(2)+........+v_(n)^(2))`
जहाँ `v_(1),v_(2),v_(3).......v_(n)` गैस के अणुओं के वेगों के Y -अक्ष की दिशा में घटक है। इसी प्रकार Z -अक्ष के लंबवत किसी फलक पर गैस के अणुओं द्वारा आरोपित दाब
`P_(z)=(m)/(V)(w_(1)^(2)+w_(2)^(2)+w_(3)^(2)+.......+w_(n)^(2))`
`w_(1),w_(2),w_(3)+..........w_(n)` गैस के अणुओं के वेगों के Z -अक्ष की दिशा में घटक है। परन्तु गैस द्वारा सभी दिशाओं में आरोपित दाब समान होता है।
`:.P_(z)=P_(y)=P_(z)=P` (मानलो)
अतः `P=(P_(x)+P_(y)+P_(z))/(3)`
या `P=(m)/(3V)(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
`+(m)/(3V)(v_(1)^(2)+v_(2)^(2)+v_(3)^(2)+..........+v_(n)^(2))+(m)/(3V)(w_(1)^(2)+w_(2)^(2)+w_(3)^(2)+.......+w_(n)^(2))` या `P=(m)/(3V)[(u_(1)^(2)+v_(1)^(2)+w_(1)^(2))+(u_(2)^(2)+v_(2)^(2)+w_(2)^(2))+(u_(2)^(2)+v_(3)^(2)+w_(3)^(2))+..........+(u_(n)^(2)+v_(n)^(2)+w_(n)^(2)]`
परन्तु `u_(1)^(2)+v_(1)^(2)+w_(1)^(2)=c_(1)^(2),u_(2)^(2)+v_(2)^(2)+w_(2)^(2)=c_(2)^(2)..........u_(n)^(2)+v_(n)^(2)+w_(n)^(2)=c_(n)^(2)`
`:.P=(m)/(3V)(c_(1)^(2)+c_(1)^(2)+c_(3)^(2)+.......+c_(n)^(2))`
परन्तु `barc^(2)=(c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+......+c_(n)^(2))/(N)" ".......(1)`
या `bar(c)=sqrt((c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+.......+c_(n)^(2))/(N))`
या `Nbarc^(2)=c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+..........+c_(n)^(2)`
जहाँ `barc` अणुओं का वर्ग-माध्य-मूल वेग है।
सभी (1) में मान रखने पर,
`P=(mNbarc^(2))/(3V)`
यही अभीष्ट व्यंजक है।
मानलो कोई अणु PK दिशा में c वेग से गति कर रहा है। इस वेग को तीन घटको u, v और w जो क्रमशः X -अक्ष, Y -अक्ष और Z -अक्ष के समान्तर है, में वियोजित किया जा सकता है।
इस प्रकार `c^(2)=u^(2)+v^(2)+w^(2)` मानलो बर्तन के दो फलक A और B ,X -अक्ष के लंबवत है। यदि यह अणु फलक A पर u वेग से टकराता है, तो टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ होने के कारण यह (-u) वेग से वापस लौटे जायेगा।
टक्कर के पहले अणु का संवेग =mu
तथा टक्कर के पश्चात अणु के संवेग =-mu
अतः टक्कर के कारण अणु के संवेग में परिवर्तन =mu-(-mu)=2mu
यह अणु A से B तक पहुँचने तथा B से A तक पुनः वापस आने में 2l दुरी तय करेगा।
अणुओं को 2l दुरी तय करने में लगा समय `=(2l)/(u)`. " " `("पश्चात्" = ("दुरी")/ ("वेग "))`
स्पष्ट है कि 2l दुरी तय करने के पश्चात् अर्थात `(2l)/(u)` समय के पश्चात् वही अणु पुनः फलक A पर टकरायेगा।
अतः प्रति सेकण्ड फलक A पर टक्करों की संख्या `(u)/(2l)`
अतः प्रति सेकण्ड अणु द्वारा दीवार को प्रदान किया गया संवेग
`=2"mu"xx(u)/(2l)=("mu"^(2))/(l)`.
(अर्थात फलक A पर संवेग परिवर्तन की दर)
परन्तु न्यूटन के गति के द्वितीय नियमनुसार, संवेग परिवर्तन की दर अणु द्वारा उस फलक पर आरोपित बल के बराबर होगी।
अतः अणु द्वारा फलक A पर आरोपित दाब `=("mu"^(2))/(l)`
परन्तु `"दाब" =("बल")/ ("क्षेत्रफल")`
मानलो गैस के अणुओं की संख्या N है तथा X -अक्ष की दिशा में उनके वेगो के घटक क्रमशः `u_(1),u_(2),u_(3),.........,u_(n)` है।
अतः सम्पूर्ण अणुओं द्वारा फलक A पर आरोपित दाब,
`P_(x)=("mu"_(1)^(2))/(l^(3))+("mu"_(2)^(2))/(l^(3))+("mu"_(3)^(2))/(l^(3))+.......+("mu"_(n)^(2))/(l^(3))`
या `P_(x)(m)/(l^(3))(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
या `P_(x)=(m)/(V)(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
जहाँ ` V=t^(3)=` बर्तन का आयतन (गैस का आयतन)।
इसी तरह Y -अक्ष के लंबवत किसी फलक पर गैस के अणुओं द्वारा आरोपित दाब,
`P_(y)=(m)/(V)(v_(1)^(2)+v_(2)^(2)+v_(3)^(2)+........+v_(n)^(2))`
जहाँ `v_(1),v_(2),v_(3).......v_(n)` गैस के अणुओं के वेगों के Y -अक्ष की दिशा में घटक है। इसी प्रकार Z -अक्ष के लंबवत किसी फलक पर गैस के अणुओं द्वारा आरोपित दाब
`P_(z)=(m)/(V)(w_(1)^(2)+w_(2)^(2)+w_(3)^(2)+.......+w_(n)^(2))`
`w_(1),w_(2),w_(3)+..........w_(n)` गैस के अणुओं के वेगों के Z -अक्ष की दिशा में घटक है। परन्तु गैस द्वारा सभी दिशाओं में आरोपित दाब समान होता है।
`:.P_(z)=P_(y)=P_(z)=P` (मानलो)
अतः `P=(P_(x)+P_(y)+P_(z))/(3)`
या `P=(m)/(3V)(u_(1)^(2)+u_(2)^(2)+u_(3)^(2)+.......+u_(n)^(2))`
`+(m)/(3V)(v_(1)^(2)+v_(2)^(2)+v_(3)^(2)+..........+v_(n)^(2))+(m)/(3V)(w_(1)^(2)+w_(2)^(2)+w_(3)^(2)+.......+w_(n)^(2))` या `P=(m)/(3V)[(u_(1)^(2)+v_(1)^(2)+w_(1)^(2))+(u_(2)^(2)+v_(2)^(2)+w_(2)^(2))+(u_(2)^(2)+v_(3)^(2)+w_(3)^(2))+..........+(u_(n)^(2)+v_(n)^(2)+w_(n)^(2)]`
परन्तु `u_(1)^(2)+v_(1)^(2)+w_(1)^(2)=c_(1)^(2),u_(2)^(2)+v_(2)^(2)+w_(2)^(2)=c_(2)^(2)..........u_(n)^(2)+v_(n)^(2)+w_(n)^(2)=c_(n)^(2)`
`:.P=(m)/(3V)(c_(1)^(2)+c_(1)^(2)+c_(3)^(2)+.......+c_(n)^(2))`
परन्तु `barc^(2)=(c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+......+c_(n)^(2))/(N)" ".......(1)`
या `bar(c)=sqrt((c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+.......+c_(n)^(2))/(N))`
या `Nbarc^(2)=c_(1)^(2)+c_(2)^(2)+c_(2)^(2)+c_(3)^(2)+..........+c_(n)^(2)`
जहाँ `barc` अणुओं का वर्ग-माध्य-मूल वेग है।
सभी (1) में मान रखने पर,
`P=(mNbarc^(2))/(3V)`
यही अभीष्ट व्यंजक है।
