सिद्ध कीजिए कि किसी वैद्युत द्विध्रुव का द्विधुव आघूर्ण उस प्रत्यानयन बलयुग्म के आघूर्ण के बराबर होता है जबकि विद्युत् द्विध्रुव को एकांक तीव्रता के एकसमान विद्युत् क्षेत्र के लम्बवत् रखा जाता है।

Explanation

मानलो एक वैद्युत द्विध्रुव एकसमान विद्युत् क्षेत्र `vecE` में `theta`कोण बनाते हुए रखा गया है । मानलो + q और -q द्विध्रुव के आवेश हैं जिनके बीच की दूरी 2l है। वैद्युत क्षेत्र `vecE` के कारण +q आवेश पर एक बल qE क्षेत्र की दिशा में तथा - q आवेश पर उतना ही बल क्षेत्र की विपरीत दिशा में लगता है। ये दोनों बल परिमाण में बराबर व एक-दूसरे के समान्तर हैं तथा विपरीत दिशा में कार्य करते हैं अत: ये एक बलयुग्म का निर्माण करते हैं, जो द्विध्रुव को घुमाकर E के समान्तर लाने का प्रयास करता है। इस बलयुग्म को प्रत्यानयन बलयुग्म कहते हैं।
इस प्रत्यानयन बलयुग्म का आघूर्ण `tau` = एक बल x दोनों बलों के बीच की लम्ववत् दूरी
`tau = qE xx AC` ....(1)
`triangle ABC` में
`sin theta=(AC)/(AB)`
`AC=AB sin theta`
`=2l sin theta`
समीकरण (1 ) में मान रखने पर ,
`tau=qE . 2l sin theta`
`=2 ql E sin theta`
`tau=pE sin theta` [`because ` p=2ql = वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण ]
यदि E=1 तथा `theta=90^@` हो , तो
`tau = p sin 90^@`
या `tau = p`