मुक्त इलेक्ट्रान सिद्धांत के आधार पर ओम का नियम स्थापित कीजिए ।

Explanation

मानलों किसी चालक की लम्बाई l तथा उसके अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल A है । उसके प्रति एकांक आयतन में मुक्त इलेक्ट्रान की संख्या n है। चालक के सिरों में V विभवांतर आरोपित करने पर उसमें I धारा प्रवाहित होती है।
चालक के भीतर प्रत्येक बिंदु पर विधुत क्षेत्र की तीव्रता `E = (V)/(l)`
इस विधुत क्षेत्र के कारण चालक के प्रत्येक मुक्त इलेक्ट्रान पर लगाने वाला बल
`F = eE` या `F = e (V)/(l)`, (जहाँ e इलेक्ट्रान का आवेश है)
यदि इलेक्ट्रान का द्रवमान m हो तो इलेक्ट्रान में उप्तन्न त्वरण
`a = (F)/(m)` या ` a = (eV)/(ml)`
यदि चालक के भीतर इलेक्ट्रान का शांतिकाल `tau ` हो तो इलेक्ट्रान द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग
`v = 0 + (eV)/(ml) tau = (eV)/(ml) tau` (v = u + at से)
धनायनों से टककर के पश्चात इलेक्ट्रान का वेग पुनः शून्य हो जाता है। अतः मुक्त इलेक्ट्रान का अनुगमन वेग
`v_(d) = (0 +(ev tau)/(ml))/(2) = (eV)/(2ml) tau`
परन्तु धारा `I = neAV_(d)`
समीकरण (2 ) से `v_(d)` का मान रखने पर
`I = neA ((eV tau)/(2ml)) = (2n^(2) tau A)/(2ml) V`
या `(V)/(I) = ((2m)/(ne^(2) tau)) (l)/(A)`
यदि चालक का ताप नियत रहे तो `((2m)/(ne^(2) tau)) (l)/(A)` एक नियतांक के बराबर होगा । इस नियतांक को R से प्रदर्शित करते हैं। इसे चालक का प्रतिरोध कहते हैं।
अतः समीकरण (3 ) से `(V)/(I) = R` यही ओम का नियम है।
स्पष्टतः `(V)/(I) = ((2m)/(ne^(2) tau)) (l)/(A)`
परन्तु `R = rho (l)/(A)`
जहाँ `rho ` चालक का विशिष्ट प्रतिरोध है। समीकरण (4 ) एवं (5 ) तुलना करने पर चालक का विशिष्ट प्रतिरोध ,
`rho = (2m)/(ne^(2) tau)`