यंग के द्विस्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिये।

Explanation

मानलो S एक स्लिट है जो एकव्णं प्रकाश स्रोत से प्रकाशित है। `S_1" और "S_2` एक दूसरे के समीप दो स्लिटें हैं जो S के समान्तर हैं तथा S से वराबर दुरी पर स्थित हैं। अत: `S_1" और "S_2` दो कला-सम्बद्ध स्रोत की तरह कार्य करेंगे।
मानलो `S_1S_2=d`
मानलो दोनों स्रोतों `S_1" और "S_2` से D दूरी पर एक पर्दा XY है, जिस पर व्यतिकरण फ्रिन्जें बनती हैं।
पर्दे पर बिन्दु `O_1`, दोनों स्तरोतों `S_1" और "S_2` से बराबर दूरी पर है। अत: इस बिन्दु पर दोनों स्रोतों से चलकर पहुँचने वाली तरंगों के मध्य पथान्तर शून्य होगा। फलस्वरूप बिन्दु 0 पर तीव्रता अधिकतम होगी।
मानलो पर्दे पर बिन्दु `O_1`, से x दूरी पर एक बिन्दु P है। `S_1" और "S_2` से पर्दे XY पर `S_1, Q" और "S_2R` लम्ब डालो। मानलो `S_1" और "S_2` का मध्य बिन्दु O है। तब S, O और `O_1`, एक ही रेखा पर होगा।
चित्र में, `PQ=O_(1)O-O_(1)Q=O_(1)P-OS_(1)=x-d/2`
तथा `PR=O_(1)P+O_(1)R=O_(1)P+OS_(2)=x+d/2`
समकोण `DeltaPQS_(1)" में "`
`S_(1)P^(2)=S_(1)Q^(2)+PQ^(2)`
`=D^(2)+(x-d/2)^(2)`
इसी तरह समकोण `DeltaPRS_(2)` में `S_(2)P^(2)=S_(2)R^(2)+PR^(2)=D^(2)+(x+d/2)^(2)`
अंत: `S_(2)P^(2)-S_(1)P^(2)=D^(2)+(x+d/2)^(2)-[D^(2)+(x-d/2)^(2)]`
`=D^(2)+x^(2)+xd+d^(2)/4-D^(2)-x^(2)+xd-d^(2)/4`
या `S_(2)P-S_(1)P^(2)=2xd`
या `(S_(2)P+S_(1)P)(S_(2)P-S_(1)P)=2xd`
या `s_(2)P-S_(1)P=(2xd)/(S_(2)P+S_(1)P)`
परन्तु (लगभग) (क्योकि व्यवहार में बिंदु P बिंदु `D_1` के अत्यंत निकट होता है)
`therefore S_(2)P-S_(1)P=(2xd)/(2D)`
अर्थार्त पथान्तर `S_(2)P-S_(1)P=(xd)/(D)....(1)`
दीप्त फ़्रेन्जे -अधिकतम तीव्रता के लिए व्यक्तीकरण करने वाली तरंगे वाली तरंगे के मध्य पथान्तर `lambda/2` का सामगुणांक होता है
पथान्तर `(xd)/(D)=2n,lambda/2`
या `(xd)/(D)=nlambda`
`therefore x=(nlambdaD)/(d)............(2)`
जहाँ n=0,1,2,3,..........
समीकरण में रखने पर केंद्रीय दीप्त फ्रिज की स्थिति प्राप्त होती है। इसे शून्य-क्रम फ़्रिज कहते है
n=1,2,3,..... रखने पर क्रमश: प्रथम, द्वितीय, तृतीय,.........दीप्त फ़्रिजो की स्थिति प्राप्त होती है|
अदीप्त फ़्रेन्जे-न्यूनतम त्रीवता के लिए व्यक्तीकरण करने वाली तरगो के मध्य पथान्तर का `lambda/2` विषम गुणांक होता है
`therefore " पथान्तर " (xd)/(D)=(2n-1)lambda/2" "("जहाँ"n=1,2,3,.....")`
या `x=((2n-1)lambda.D)/(2d) .........(3)`
समी (3) में n=1,2,3........, रखने पर क्रमश: प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ..........अद्वीप्त फ्रिन्जो की स्थ्तिया प्राप्त होती है
यदि केंद्रीय फ्रिज से n वि एव (n+1) वी दीप्त फ्रेजो की दूरिया क्रमश: `x_(n)" और "x_(n+1)` हो, तो समी से, `x_(n)=(nlambdaD)/(d)`
तथा `x_(n+1)=((n+1)lambdaD)/(d)`
अंत: दो क्रमागत दीप्त के बिच की दुरी अर्थार्त अदीप्त फ्रिज की चौड़ाई `x_(n+1)-x_(n)=((n+1)lambdaD)/(d)-(nlambdaD)/(d)-(lambdaD)/(d)........(4)`
इस तरह यदि केंद्रीय फ्रिज O से n वी और (n+1) वी अदीप्त फ़्रिजो की दूरिया क्रमश `x_(n)" और "x_(n+1)`, हो, तो `x_(n)=((2n-1)Dlambda)/(2d)`
`"तथा "x_(n+1)=((2n+1)Dlambda)/(2d)`
अंत: दो क्रमागत अदीप्त फ़्रेन्जो के बिच की दुरी अर्थार्त दीप्त फ्रिज की चौड़ाई, `x_(n+1)-x_(n)=((2n+1)Dlambda)/(2d)-((2n-1)Dlambda)/(2d)`
`=(Dlambda)/(d)..........(5)`
समी, (4) और (5) से स्पष्ट है की दीप्त और अदीप्त फ़्रेन्जो की चौड़ाई एकसमान होती है इस तरह फ्रिज चौड़ाई `beta=(Dlambda)/d`