एक R त्रिज्या की पतली वलय पर Q आवेश एक समान रूप से वितरित है वलय की अक्ष पर केन्द्र से X दूरी पर स्थित बिन्दु विधुत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए। प्राप्त परिणाम की प्रतिबंध `x gt gt R` के लिए विवेचना कीजिए।

Explanation

वलय पर आवेश (q) एकसमान रूप से वितारित है अत: रेखीय घनत्व
`lambda = (Q )/(L ) = (q )/(2pi R )`
हम वलय पर व्यासत: सम्मुख दो समान लम्बाइ। dl के अल्पांश A तथा B लेते है। प्रत्येक अल्पांश पर आवेश की मात्रा
`dq = lambda dl`
प्रत्येक अल्पाश से बिन्दु P की दूरी r है तो अल्पांश A के कारण बिन्दु P पर विधुत क्षेत्र
`dE_(1) = (1)/(4 pi epsilon_(0)) .(dq)/(r^(2))`
अल्पांश B के कारण बिन्दु P पर विधुत क्षेत्र `dE_(2) = (1)/(4 pi epsilon_(0)) .(dq)/(r ^(2))`
`|dE_(1)| = |dE_(2)|`

`dE_(1) ` एवं `dE_(2)` को चित्रानुसार वियोजित करने पर इनके ऊर्ध्वघटक `dE_(1) sin theta` एवं `dE_(2) sin theta` परिमाण में समान परस्पर विपरीन होने के कारण परस्पर निरस्त हो जाते है। जबकि क्षेतिज घटक `dE_(1) cos theta` एवं `dE_(2) cos theta` समान दिशा में होने के कारण जुड जाते है। हम समपूर्ण वलय को इसी का क्षैतिज घटक OP दिशा के अनुदिश होता है। अत: सम्पूर्ण वलय के कारण बिन्दु P पर विघुत क्षेत्र
`E= int_(L) . dE cos theta = (1)/(4 pi epsilon_(0)) int_(L) . (dq)/(r ^(2)) cos theta `
`:. ` चित्र से `cos theta = (x )/( r ), :’ , dq = lambda dl ` तथा `x, lambda ` एवं ` r ` नियतांक है।
अत: समीकरण `(1)` से
`E = (1)/(4pi epsilon_(0)) int_(L) (lambda dl )/( r^(2)) xx (x )/(r )`
`rArr E= (lambda x)/( 4pi epsilon_(0)) int _(L) dl`
`int _(L ) dl =` सम्पूर्ण वलय की लम्बाई `=2 pi R`
अत: `E = (lambda x)/( 4pi epsilon_(0) r^(3)) xx 2pi R`
` :. , lambda xx 2pi R = q` तथा चित्र से `r^(2) = R^(2) + x^(2)`
प्रतिबंध`x gt gt R` के लिए उपरोक्त सूत्र
`E = (kqx)/((x^(2))^((3)/(2)) ((R^(2))/(x^(2)) + 1)^((3)/(2)))`
यहाँ `x gt gt R`
`:. , (R^(2))/( x^(2)) = 0` लेने पर
अत: `E = (kqx)/(x^(3) (0+1)^(3//2)) = (kqx)/(x^(2)) = (kq)/(x^(2))`
`E = (kq)/(x^(2))`
यह सूत्र किसी बिन्दु आवेश Q से x दूरी पर स्थित बिन्दु पर विधुत क्षेत्र के सूत्र के समान ही है। अत, अक्ष पर दूरस्थ बिन्दुओं के लिए वलय इस प्रकार व्यवहार करती है। मानों सम्पूर्ण आवेश इसके केन्दु पर संकेन्द्रित हे।