`Delta ABC` में सिद्ध कीजिए कि - `a^(3)sin(B-C)+b^(3)sin (C-A)+c^(3)sin (A-B)=0`.

Explanation

चूँकि `a^(3)sin (B-C)=a^(3)(sin B cos C - cos B sin C)`
`= a^(3)[kb cos C - kc cos B]`
`= a^(3)[kb.(a^(2)+b^(2)-c^(2))/(2ab)-kc.(c^(2)+a^(2)-b^(2))/(2ca)]`
`= (a^(2)k)/(2)[(a^(2)+b^(2)-c^(2))-(c^(2)+a^(2)-b^(2))]`
`= (ka^(2))/(2)[a^(2)+b^(2)-c^(2)-c^(2)-a^(2)+b^(2)]`
`=(ka^(2))/(2)[2b^(2)-2c^(2)]=ka^(2)(b^(2)-c^(2))`
`= ka^(2)b^(2)-kc^(2)a^(2) " "` ...(1)
इसी प्रकार `" "b^(3)sin(C-A)=kb^(2)c^(2)-ka^(2)b^(2) " "` ...(2)
एवं `" " c^(3)sin (A-B)=kc^(2)a^(2)-kb^(2)c^(2) " "` ...(3)
समीकरण (1), (2) एवं (3) को परस्पर जोड़ने पर,
`a^(3)sin(B-C)+b^(3)sin(C-A)+c^(3)sin (A-B)`
` = ka^(2)b^(2)-kc^(2)a^(2)+kb^(2)c^(2)-kb^(2)b^(2)+kc^(2)a^(2)-kb^(2)c^(2)`
`= 0`
`rArr " " L.H.S. = R.H.S. " "` इति सिद्धम्