द्रव्यमान m का एक पिण्ड, एकसमान द्रव्यमान M तथा बल नियतांक K की एक स्प्रिंग से लटका है | सिद्ध कीजिए कि दोलन आवृति `n=(1)/(2pi)sqrt((K)/(m+(M//3)))` होगी |

Explanation

माना चित्र 15.34 में स्प्रिंग की लम्बाई l है तो स्प्रिंग का प्रति एकांक लम्बाई द्रव्यमान `=M/l`
अब यदि ऊपर के दृढ़ सिरे से s दूरी पर लम्बाई ds की स्प्रिंग पर विचार करें तो
स्प्रिंग के इस भाग का द्रव्यमान `=M/lds`
माना स्प्रिंग के निचले सिरे पर जुड़े द्रव्यमान m को माध्य स्थिति से नीचे की और x दूरी विस्थापित किया जाता है तो चूँकि लम्बाई में वृद्धि `prop` प्रारम्भिक लम्बाई अतः ds लम्बाई वाले भाग का ऊर्ध्वाधर विस्थापन `(sx)/(l)` होगा |
`:.` भाग ds का वेग `=("s dx")/("l dt")=s/lv`, जहाँ `=(dx)/(dt)` स्प्रिंग के निचले सिरे पर द्रव्यमान m का वेग है।
तथा `" "` द्रव्यमान m की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)`
अतः स्प्रिंग से लटके सम्पूर्ण निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
`=1/2mv^(2)+(Mv^(2))/(6)=(v^(2))/(2)(m+(M)/(3))` br> `=1/2(m+(M)/(3))((dx)/(dt))^(2)" " . . . . .(i)`
तथा `" "` स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा `-int_(0)^(x)"Kx dx"=1/2Kx^(3) " " . . . . (ii)`
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से गतिज ऊर्जा `+` स्थितिज ऊर्जा = नियतांक
या `" "1/2(m+M/3)((dx)/(dt))^(2)+1/2Kx^(2)=` नियतांक
t के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1/2(m+M/3)xx2((dx)/(dt))xx(d^(2)x)/(dt^(2))+(1)/(2)Kxx2x xx(dx)/(dt)=0`
या `" "(m+M/3)(d^(2)x)/(dt^(2))+Kx=0` या `(d^(2)x)/(dt^(2))+(K)/((m+M/3))x=0`
यह सरल आवर्त गति का अवकलन समीकरण है जिसकी कोणीय आवृत्ति `omega=sqrt((K)/((m+(M)/(3))))`
या `" "` आवृत्ति `n=(omega)/(2pi)=1/(2pi)sqrt((K)/((m+M/3)))`