यदि `y=9x^(3)-12x+2` हो तो x के किस मान के लिए y का मान अधिकतम होगा और किस मान के लिए न्यूनतम ? y के अधिकतम एवं न्यूनतम मान भी ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`y=9x^(3)-12x+2`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dy)/(dx)=(d)/(dx)(9x^(3)-2x+2)=9xx3x^(2)-12+0`
`=27x^(2)-12`
उच्चिष्ठ एवं निमनिष्ठ के लिए `(dy)/(dx)=0`
`therefore" "27x^(2)-12=0" या "9x^(2)=4`
या `" "x=pm(2)/(3)`
अतः `" "x(2)/(3)" या "(-2)/(3)`
पुनः `(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(27x^(2)-12)=27xx2x-0=54x`

(i) `x=(2)/(3)` रखने पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=54xx(2)/(3)=+36`
इस प्रकार `" "(d^(2)y)/(dx^(2))=+ve`
अतः `x=(2)/(3)` के लिए y निमनिष्ठ होगा।
`y_("min")=9x^(3)-12x+2=9((2)/(3))^(3)-12xx(2)/(3)+2`
`=9xx(8)/(27)-8+2=(-10)/(3).`
(ii) `x=-(2)/(3)` रखने पर,
`(d^(2)y)/(dx^(2))=54xx((-2)/(3))=-36`
इसी प्रकार `(d^(2)y)/(dx^(2))=-ve`
अतः `-(2)/(3)` के लिए y का मान अधिकतम होगा ।
`y_("max")=9x^(3)-12x+2`
`=(-(2)/(3))-12((-2)/(3))+2`
`=9xx(-8)/(27)+8+2=(22)/(3).`