R त्रिज्या का पतला वृत्तीय तार अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः कोणीय आवृत्ति `omega` से घूर्णन कर रहा है | यह दर्शाइए कि इस तार में डाली कोई मणिका `omega le sqrt(g//R)` के लिए अपने निम्नतम बिंदु पर रहती है | `omega=sqrt(2g//R)` के लिए , केंद्र से मनके को जोड़ने वाला त्रिज्य सदिश ऊर्ध्वाधर अधोमुखी दिशा से कितना कोण बनाता है | ( घर्षण को उपेक्षणीय मानिए | )

Explanation

मानलो जब मनिका कोणीय आवृत्ति `omega` से घूर्णन करती है , तो उसकी स्थिति P है P को केंद्र O से मिलाने वाली त्रिज्यीय रेखा ऊर्ध्वाधर से`theta` कोण बनाती है | तब मनिका पर अभिलंब प्रतिक्रिया N, OP के अनुदिश कार्य करेगी | N को दो घटकों में वियोजित किया जा सकता है -

(i) `N cos theta` ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर , जो मनिका के भार mg को संतुलित करता है , जहाँ m मनिका की संहति है |
(ii) `N sin theta` क्षैतिज दिशा में , जो मनिका को क्षैतिज तल में वृत्तीय गति करने के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है |
इस प्रकार, `" "N cos theta=mg" ..(1)"`
तथा `" "N sin theta=mr omega^(2)`
किन्तु `r=R sin theta,` जहाँ R वृत्तीय तार की त्रिज्या है (PO = R)
`therefore" "N sin theta=mR sin theta.omega^(2)" या "N=mRomega^(2)`
समी (1 ) में मान रखने पर,
`mR omega^(2) cos theta=mg`
या `" "cos theta=(g)/(Romega^(2))" ...(2)"`
मणिका को निम्नतम बिंदु A पर रहने के लिए `theta^(@)=0`
`therefore" "cos theta=1`
समी. (2 ) में मान रखने पर,
`(g)/(Romega^(2))=1`
या `" "omega=sqrt((g)/(R))`
यदि `omega gt sqrt((g)/(R))` हो, तो मणिका न्यूनतम बिंदु A से ऊपर उठेगा । अतः मणिका को निम्नतम बिंदु पर रहने के लिए
`omega le sqrt((g)/(R))`
पुनः यदि `omega=sqrt((2g)/(R))` हो, तो समी. (2 ) से,
`cos theta=(g)/(R)xx(R)/(2g)=(1)/(2)`
`therefore" "theta=60^(@)`.