समान द्रव्यमान m के तीन बिंदु द्रव्यमान l भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित हैं । इसके केंद्र ( Centroid ) पर गुरुत्वीय क्षेत्र एवं विभव का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

चित्र में ABC एक समबाहु `Delta` है ।

G उसका केंद्र है।
समकोण `DeltaADB` में,
`sin 60^(@)=(AD)/(AB) rArr (sqrt3)/(2)=(AD)/(l) rArr AD=(sqrt3l)/(2)`
किन्तु `" "AG=(2)/(3)AD rARr AG=(2)/(3)xx(sqrt3l)/(2)=(l)/(sqrt3)`
इसी तरह `BG=(1)/(sqrt3)` तथा `CG=(l)/(sqrt3)`
अतः `" "AG=BG=CG =(l)/(sqrt3)`
बिंदु A पर स्थित बिंदु द्रव्यमान m के कारण G पर गुरुत्वीय क्षेत्र `" "E_(A)=(Gm)/(AG^(2))`
बिंदु B पर स्थित बिंदु द्रव्यमान m के कारण G पर गुरुत्वीय क्षेत्र `" "E_(B)=(Gm)/(BG^(2))`
बिंदु C पर स्थित बिंदु द्रव्यमान m के कारण G पर गुरुत्वीय क्षेत्र `" "E_(C)=(Gm)/(CG^(2))`
अतः `E_(A)=E_(B)=E_(C)=E` (मानलो)
तीनों बलों के बीच का परिणामी का परिमाण तीसरे बल के परिमाण के बराबर है।
अतः केंद्र G पर गुरुत्वीय क्षेत्र का मान शून्य होगा। अब बिंदु पर गुरुत्वीय विभव
`=-(Gm)/(AG)+(-(Gm)/(BG))+(-(GM)/(CG))`
`=-GM[(1)/(AG)+(1)/(BG)+(1)/(CG)]`
`=-GM[(sqrt3)/(l)+(sqrt3)/(l)+(sqrt3)/(l)]`
`=-3sqrt3(GM)/(l).`