एक - दूसरे से समान दूरी पर स्थित चार कणों में से प्रत्येक का द्रव्यमान M है । ये परस्पर गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव के अंतर्गत त्रिज्या R के एक वृत्त पर गतिशील हैं । प्रत्येक कण की चाल है -

Options

A. `sqrt((GM)/(R))`
B. `sqrt((2sqrt2GM)/(R))`
C. `sqrt((GM)/(R)(1+2sqrt2))`
D. `(1)/(2)sqrt((GM)/(2)(1+2sqrt2))`.

Answer

D

Explanation

`AB^(2)=AD^(2)=R^(2)+R^(2)=2R^(2)`
कण B के कारण A पर गुरुत्वाकर्षण बल `=(GM^(2))/(AB^(2))`
`vec(AB)` के अनुदिश `=(GM^(2))/(2R^(2))`

इस बल का `vec(AO)` दिशा में घटक
`=(GM^(2))/(2R^(2))cos45^(@)=(GM^(2))/(2R^(2))xx(1)/(sqrt2)=(GM^(2))/(2sqrt2R^(2))`
C के कारण A पर गुरुत्वकर्षण बल
`=(GM^(2))/(AC^(2))=(GM^(2))/((2R)^(2))=(GM^(2))/(4R^(2))l vec(AO)` के अनुदिश
कण D के कारण A पर गुरुत्वाकर्षण बल
`=(GM^(2))/(AD^(2))=(GM^(2))/(2R^(2)),vec(AD)` के अनुदिश
इस बल का `vec(AO)` दिशा में घटक
`=(GM^(2))/(2R^(2))cos45^(@)=(GM^(2))/(2sqrt2R^(2))`
अतः कण A पर कुल बल `F=(GM^(2))/(2sqrt2R^(2))+(GM^(2))/(4R^(2))+(GM^(2))/(2sqrt2R^(2))`
`=(GM^(2))/(2R^(2))((1)/(sqrt2)+(1)/(2)+(1)/(sqrt2))=(GM^(2))/(R^(2))((1)/(4)+(1)/(sqrt2))`
यह बल वृत्तीय गति करने के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करेगा।
`therefore" "(Mv^(2))/(R)=(GM^(2))/(R^(2))((1)/(4)+(1)/(sqrt2))`
`rArr" "v=sqrt((GM)/(R)((1)/(4)+(1)/(sqrt2)))=(1)/(2)sqrt((GM)/(R)(2sqrt2+1))`