किसी रॉकेट को मंगल के पृष्ठ से `2kms^(-1)` की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर दागा जाता है । यदि मंगल के वातावरणीय प्रतिरोध के कारण इसकी `20 %` आरंभिक ऊर्जा नष्ट हो जाती है, तो मंगल के पृष्ठ पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट मंगल से कितनी दूरी तक जाएगा ? मंगल का द्रव्यमान `=6.4xx10^(23)kg,` मंगल की त्रिज्या = 3395 km तथा `G=6.67xx10^(-11)Nm^(2)kg^(-2).` ।

Explanation

दिया है - `v=2kms^(-1)=2xx10^(3)ms^(-1)`
सूर्य का द्रव्यमान `M=6.4xx10^(23)kg,`
मंगल की त्रिज्या `R=3395km=3395xx10^(3)m`
`G=6.67xx10^(-11)"N m"^(2)kg^(-2)`
रॉकेट की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)=(1)/(2)m(2xx10^(3))^(2)`
`=(2xx10^(6)m)J`
`20%` ऊर्जा नष्ट हो जाती है। अतः शेष गतिज ऊर्जा
`=20xx10^(6)mxx(80)/(100)=(1.6xx10^(6)m)J`
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा `=(-GMm)/(R)`
`therefore` कुल प्रारंभिक ऊर्जा `E=1.6xx10^(6)m+((-GMm)/(R))`
मानलो रॉकेट h ऊँचाई तक ऊपर उठता है।
तब अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा = 0
तथा स्थितिज ऊर्जा `=(-GMm)/((R+h))`
`therefore` कुल ऊर्जा `=0+((-GMm)/(R+h))=-(GMm)/(R+h)`
अब ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से,
`(-GMm)/(R+h)=1.6xx10^(6)m-(GMm)/(R)`
`rArr" "(GM)/(R+h)=(GM)/(R)-1.6xx10^(6)`
`=(GM-1.6xx10^(6)R)/(R)`
`rArr" "(1)/(R+h) =(GM-1.6xx10^(6)R)/(GMR)`
`rArr" "R+h=(GMR)/(GM-1.6xx10^(6)R)`
`rArr" "h=(GMR)/(GM-1.6xx10^(6)R)-R`
`=(6.67xx19^(-11)xx6.4xx10^(23)xx3395xx10^(3))/(6.67xx10^(-11)xx6.4xx10^(23)-1.6xx10^(6)xx3395xx10^(3)-3395xx10^(3))`
`=(144925.76xx10^(15))/(42.688xx10^(12)-5432xx10^(9))-3395xx10^(3)`
`=(144925.76xx10^(15))/(42.688xx10^(12)-5.432xx10^(12))-3395xx10^(3)`
`=(144925.76xx10^(15))/(37.256xx10^(15))-3395xx10^(3)`
`=3890xx10^(3)-3395xx10^(3)`
`=495xx10^(3)m=495km`.