`1*05` m लंबाई तथा नगण्य द्रव्यमान की एक छड़ को बराबर लंबाई के दो तारों, एक इस्पात का ( तार A ) तथा दूसरा ऐल्युमिनियम का तार ( तार B ) द्वारा सिरों से लटका दिया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। A तथा B के तारों के अनुप्रस्थ परिच्छेद के क्षेत्रफल क्रमशः `1* 0 mm^(2)` और `2* 2mm^(2)` हैं। छड़ के किस बिंदु से एक द्रव्यमान M को लटका दिया जाए ताकि इस्पात तथा ऐल्युमिनियम के तारों में (a) समान प्रतिबल तथा (b) समान विकृति उत्पन्न हो ?

Answer

(a) इस्पात के तार से `0*70m` दूर स्थित बिंदु पर लटकाना पड़ेगा।
(b) इस्पात के तार से `0*43` m की दूरी पर लटकाना पड़ेगा।

Explanation

दिया है- `L=1*05m`
`A_(st)=1*0mm^(2)=1*0(10^(-3)m)^(2)=1*0xx10^(-6)m^(3)`
`A_(al)=2*0mm^(2)=2*0xx10^(-6)m^(3)`
`Y_(st)=200xx10^(9)Nm^(-2), Y_(al)=70xx10^(9)Nm^(-2)`
(a) मानलो द्रव्यमान M को इस्पात के तार A से `x` दूरी पर लटकाया जाता है। तब ऐल्युमिनियम के तार B से इस द्रव्यमान की दूरी `=(1*05-x)m`
प्रतिबल समान है ,
`:.(F_(st))/(A_(st))=(F_(al))/(A_(al))`
`rArr (F_(st))/(F_(al))=(A_(st))/(A_(al))` ...(1)
अब आघूर्ण के सिद्धांत से
`F_(st).x=F_(al)(1*05-x)`
`rArr (F_(st))/(F_(al))=(1*05-x)/(x)` ...(2)
समी. (1) और (2)से ,
`(A_(st))/(A_(al))=(1*05-x)/(x)`
`(1*0xx10^(-6))/(2*0xx10^(-6))=(1*05-x)/(x)rArr1/2=(1*05-x)/(x)`
`rArrx=2*10-2x rArr x=(2*10)/(3)=0*70m`
इस्पात के तार से `0*70m` दूर स्थित बिंदु पर लटकाना पड़ेगा।
(b) मानलो द्रव्यमान m को इस्पात के तार A से `x` दूरी पर लटकाया जाता है। तब ऐल्युमिनियम के तार B से द्रव्यमान m की दूरी `=(1*05-x)m`
सूत्र - `Y=(F.L)/(Al)` से,
`l/L=(F)/(A.Y)`
विकृति समान होने पर,
`(F_(st))/(A_(st).Y_(st))=(F_(al))/(A_(al).Y_(al))`
`rArr (F_(st))/(F_(al))=(A_(st))/(A_(al)).(Y_(st))/(Y_(al))` ...(3)
पुनः आघूर्ण के सिद्धांत से,
`F_(st).x=F_(al).(1*05-x)`
`rArr (F_(st))/(F_(al))=(1*05-x)/(x)` ...(4)
समी. (3) और (4) से ,
`(A_(st))/(F_(al)).(Y_(st))/(Y_(al))=(1*05-x)/(x)`
मान रखने पर,
`(1*0xx10^(-6))/(2*0xx10^(-6))xx(200xx10^(9))/(70xx10^(9))=(1*05-x)/(x)`
`(10)/(7)=(1*05-x)/(x) rArr 10x=7*35-7x`
`rArr17x=7*35rArr x = (7*35)/(17)=0*43m`
इस्पात के तार से `0*43` m की दूरी पर लटकाना पड़ेगा।