त्रिज्या r की एक अर्धवृत्तीय वलय पर धनात्मक आवेश q समान रूप से वितरित है। केंद्र O पर परिणामी क्षेत्र `vecE ` है -

Options

A. `(q)/(4 pi ^(2) epsi _(0) r ^(2))hatj`
B. `(-q)/( 4 pi ^(2) epsi _(0) r ^(2))hatj`
C. `(-q)/(2 pi ^(2) epsi _(0) r ^(2))hatj`
D. `(q)/( 2 pi ^(2) epsi _(0) r ^(2))hatj`

Answer

C

Explanation

बिंदु A और B पर dl लम्बाई के सम्मित खंड कि कल्पना करो। A के पास dl लम्बाई के खंड के कारण बिंदु O पर विधुत क्षेत्र

`dE _(1)= (1)/(4 pi epsi _(0)). (dq )/(r ^(2)),AO` दिशा में।
इसके दो घटक प्राप्त कर सकते है -
(i) `(1)/(4 piepsi_(0)). (dq)/(r ^(2)) cos theta,PO`दिशा में
तथा `(ii) (1)/(4 pi epsi _(0)). (dq)/(r ^(2))sin theta , PO` के लंबवत दिशा में।
इसी प्रकार बिंदु B के dl लम्बाई के खंड के कारण बिंदु O पर विधुत क्षेत्र
`dE_(2) = (1)/(4 pi epsi _(0)). (dq)/(r ^(2)). BO` दिशा में।
उपयुक्तानुसार इसके भी दो घटक होंगे। PO के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त करेंगे तथा PO के अनुदिश घटक जुड़ जायेगे।
`therefore E = int _(-(pi)/(2))^((pi)/(2))(1)/( 4 pi epsi _(0)) . (dq)/(r ^(2)) cos theta `
यदि रेखिक आवेश घनत्व `lamda ` है तो `dq=lamda dl = lamda rd theta `
` therefore E = int _(-(pi)/(2))^((pi)/(2)) cos theta d theta = (lamda )/(2 pi epsi _(0)r )`
किंतु `lamda = (q)/(2 pir) implies E = ( lamda )/( 2 pi ^(2) epsi _(0)r ^(2)), - hatj` दिशा में।