गाउस नियम का उपयोग किए बिना किइस एकसमान रैखिक आवेश घनत्व `lamda ` के लम्बे पतले तार के कारण विधुत क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त कीजिए। [संकेत - सीधे ही कूलॉम नियम का उपयोग करके आवश्यक समाकलन का मान निकालिए ]।

Explanation

माना AB एक लम्बा पतला तार है जिस पर रैखिक आवेश घनत्व `lamda ` है। उससे r दुरी पर एक बिंदु P है जिस पर विधुत क्षेत्र के लिए सूत्र ज्ञात करना है।

O से x दुरी पर dx लम्बाई के एक अल्पांश C कि कल्पना करे। अल्पांश C पर कुल आवेश
`q = lamda dx " "...(1)`
अल्पांश C के आवेश के कारण बिंदु P पर विधुत क्षेत्र `dE = (1)/(4 pi epsi _(0)) . (q)/(CP^(2)),` इसकी दिशा `vec(CP)` के अनुदिश होगी।
समी (1 ) से मान रखने पर,
`de = (1)/(4 pi epsi _(0)). (lamda dx )/( CP ^(2))`
दे को दो घटको में वियोजित किया जा सकता है -
`(i) dE cos theta ` के अनुदिश
(ii) ` d E sin theta ,OP` के लंबवत
बिंदु O के विपरीत और उतनी ही दुरी x पर dx लम्बाई के एक-दूसरे अल्पांश C ' कि कल्पना करे, तो इस अल्पांश के कारण बिंदु P पर विधुत क्षेत्र
`dE' (1)/( 4 pi epsi _(0)). (q)/( C'P ^(2)), ` इसकी दिशा `vecCP` के अनुदिश होगी।
इसे भी दो घटको में वियोजित किया जा सकता है -
(i) `dE' cos theta , OP` के अनुदिश
(ii) ` dE ' sin theta OP` के लंबवत
किन्तु `CP =C 'P ,` अतः OP के लंबवत घातक एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे तथा OP के अनुदिश घातक आपस में जुड़ जायेगे। इसी प्रकार यदि बिंदु O के दोनों और समान दुरी पर समान लम्बाई के अल्पांश कि कल्पना करे तो समस्त अल्पाँशो के कारण OP के लंबवत घातक एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे किंदु OP के अनुदिश घटक आपस में जुड़ जाएंग।
अतः बिंदु P पर परिणामी विधुत क्षेत्र
`E = int dE cos theta `
`= int ( 1)/( 4 pi epsi _(0)). ( lamda d x )/(CP^(2)) cos theta, ` [समी (2 ) से]
`= (lamda )/( 4 pi epsi _(0)) . int ( dx .cos theta )/(r ^(2) + x ^(2))`
किन्तु `CP^(2) = r ^(2) + x ^(2)`
`therefore E = (lamda)/( 4 pi epsi _(0)) int (dx . cos theta )/(r ^(2) + x ^(2)) " "...(3)`
`Delta PCO` में `tan theta = (x)/(r)`
या `x = r tan theta `
`implies dx = r sec ^(2) theta d theta`
तथा `r ^(2) + x ^(2) = r ^(2) + r ^(2) tan ^(2) theta = r ^(2) (1 + tan ^(2) theta ) = r ^(2) sec ^(2) theta `
समी (3 ) में मान रखने पर, `E = (lamda )/(4 pi epsi _(0))int (r sec ^(2) d theta . cos theta )/(r ^(2)sec ^(2) theta)`
या `E = (lamda)/(4 pi epsi _(0)) . int ( cos theta d theta )/(r )`
यदि ताल लम्बा है तो, `theta ` का मान `-pi /2 ` से `pi /2 ` पर परिवर्तित होगा।
`therefore E = (lamda)/(4 pi epsi _(0)) int _(-(pi)/(2))^((pi)/(2))(cos theta d theta )/(r )`
`= (lamda )/(4 pi epsi _(0)r ) [sin theta ] _((-pi)/(2))^((pi )/(2))`
`= (lamda)/(4pi epsi _(0) r)[ sin "" (pi)/(2) - sin (- (pi)/(2))]`
` = (lamda)/(4 pi epsi _(0)r) (1+1) = (lamda )/(2pi epsi _(0)r)`
यही अभीष्ट सूत्र है।