चित्र में बिंदु O पर रखी गई एक छोटी चुंबकीय सुई P दिखाई गई है। तीर इसके चुंबकीय आघूर्ण की दिशा दर्शाता है। अन्य तीर दूसरी समरूपचुंबकीय सुई Q की विभिन्न स्थितियों (एवं चुंबकीय आघूर्गों के दिक्विन्यासों) को प्रदर्शित करते हैं।
(a) किस विन्यास में यह निकाय संतुलन में नहीं होगा?
(b) किस विन्यास में निकाय (i) स्थायी, (ii) अस्थायी संतुलन में होंगे?
(c) दिए गए सभी विन्यासों में किसमें न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा है?

Explanation

दो चुंबकीय सुइयों (द्विध्रुवों) P और Q के विन्यास की स्थितिज ऊर्जा एक द्विध्रुव P के चुंबकीय क्षेत्र `vecB_(P)`, में दूसरे द्विध्रुव Q की स्थितिज ऊर्जा के कारण होती है।
द्विध्रुव P के कारण अक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र
`vecB_(P)=(mu_(0))/(4pi).(2vecM_(P))/(r^(3))`
तथा निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र
`vecB_(P)=(-mu_(0))/(4pi).(vecM_(P))/(r^(3))`
स्थायी संतुलन की स्थिति में `vecB_(P)` और `vecM_(Q)` एक-दूसरे के समांतर तथा अस्थायी संतुलन में एक-दूसरे के प्रतिसमांतर होंगे।
(a) `PQ_(1)` और `PQ_(2)` विन्यासों में `vecM_(P)`, और `vecM_(Q)` समांतर या प्रतिसमांतर नहीं हैं। अत: निकाय संतुलन में नहीं होंगे।
(b) (i)`PO_(3)` विन्यास में द्विध्रुव`Q_(3)`, द्विध्रुव P के सापेक्ष निरक्षीय स्थिति में है तथा`vecM_(P)` ||(-vecM_(Q))`, अत: समीकरण (2) से `vecB_(P)`और `vecM_(Q)` में समांतर होंगे। इसलिए इस विन्यास में निकाय संतुलन में होगा।
`PQ_(6) विन्यास में द्विध्रुव `Q_(6)` द्विध्रुव P के सापेक्ष अक्षीय स्थिति में है तथा `vecM_(P)||vecM_(Q)`, अत: समीकरण (1) में `vecB_(P)||vecM_(Q)` इस विन्यास में भी निकाय संतुलन में होगा।
(ii) `PQ_(5)` विन्यास में द्विध्रुव `Q_(5)` द्विध्रुव P के सापेक्ष निरक्षीय स्थिति में है तथा `vecM_(P)||vecM_(Q)`,. अत: समीकरण (2) से `vecB_(P)`, और`vecM_(Q)` प्रतिसमांतर होंगे। इसलिए इस विन्यास में निकाय अस्थायी संतुलन में होगा। `PQ_(4)` विन्यास में द्विध्रुव `Q_(4)` द्विध्रुव P के सापेक्ष अक्षीय स्थिति में है तथा `vecM_(P)` `vecM_(Q)` प्रतिसमांतर हैं। अतः समीकरण (1) से `vecB_(P)` और `vecM_(Q)` प्रतिसमांतर होंगे। इसलिए यह निकाय अस्थायी संतुलन में होगा।
(c) स्थायी संतुलन में स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
`PQ_(3)` विन्यास में स्थितिज ऊर्जा `U = --M_(P)B_(p)` तथा `PQ_(6)` विन्यास में स्थितिज ऊर्जा `U' = -M_(P)B’_(P)` किंतु `B’_(P)>B_(P)` अतः `U'