If `|(a,a^2, 1+a^3),(b,b^2, 1+b^3),(c,c^2, 1+c^3)|=0` and the vectors ` vec A= hat i+a hat j+a^2 hat k , vec B= hat i+b hat j+b^2 hat k , vec C= hat i+c hat j+c^2 hat k` are non-coplanar, then prove that `a b c=-1` .

Explanation

Given that,

`|(a,a^2, 1+a^3),(b,b^2, 1+b^3),(c,c^2, 1+c^3)|=0`


`|(a,a^2, 1),(b,b^2, 1),(c,c^2, 1)|+|(a,a^2, a^3),(b,b^2, b^3),(c,c^2, c^3)|=0`


`|(1,a, a^2),(1,b, b^2),(1,c, c^2)|+ abc |(1,a, a^2),(1,b, b^2),(1,c, c^2)|=0`


`(1+abc)|(1,a, a^2),(1,b, b^2),(1,c, c^2)|=0`


The determinant can not be zero, so

`1+abc=0`

`abc=-1`


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