Prove that `(a+b+c)^3 - a^3-b^3-c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a).`

Explanation

to prove , `(a+b+c)^(3)-a^(3)-b^(3)-c^(3)=3(a+b)(B+c)(c+a)`
`LHS=[(a+b+c)^(3)-a^(3)]-(b^(3)+c^(3))`
`=(2+b+c-a)[(a+b+c)^(2)+a^(2)+2(a+b+c)]-[B+c)(b^(2)+c^(2)-bc)]`
[using identity , `a^(3)+b^(3)=(a+b)(a^(2)+b^(2)-ab)and a^(3)-b^(3)=(a-b)(a^(2)=b^(2)+ab)]`
`=(b+c)[a^(2)+b^(2)+c^(2)+2ab+2bc+2ca+a^(2)a^(2)+ab+ac]-(b+c)(b^(2)+c^(2)-bc)`
`=(b+c)[b^(2)+c^(2)+3a^(2)+3ab+3ac+3ac-b^(2)-c^(2)+3bc]`
`=(b+c)[3(a^(3)+ab+ac+bc)]`
`=3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]`
`=3(b+c)[(a+c)(a+b)]`
`=3(a+b)(b+c)(c+a)(c+a)=RHS` hence proved .