Evaluate, `lim_(xto0) (1-cosmx)/(1-cosnx)`

Explanation

Given, `underset(xto0)"lim"(1-cosmx)/(1-cosnx)=underset(xto0)"lim"((1-1+sin^(2)(mx))/(1-1+2sin^(2)(nx)/2))` `[therefore cosmx=1-2sin^(2)((mx)/2) "and" sinnx=1-2sin^(2)(nx)/2]`
`underset(xto0)"lim"(sin^(2)(mx)/2)/(sin^(2)(nx)/2)=underset(xto0)"lim"(sin^(2)((mx)/2)/((mx)/2)^(2).((mx)/2)^(2))/(sin^(2)((nx)/2)/((nx)/2)^(2).((nx)/2)^(2))=(underset(xto0)"lim"sin((mx)/2)/((mx)/2))^(2)/(underset(xto0)"lim"sin((nx)/2)/((nx)/2))^(2).(m^(2)x^(2)/4)/(n^(2).x^(2)/4`
`m^(2)/n^(2).underset(xto0)"lim"(((sin(mx)/2)/((mx)/2))/((sin(mx)/2)/((mx)/2)))^(2)=m^(2)/n^(2)` `[thereforeunderset(xto0)"lim"(sinx)/x=1]`