Evaluate: `int(x^2)/((x^2+a^2)(x^2+b^2))dx`

Answer

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Explanation

Let ` I=int(x^(2))/((x^(2)+a^(2))(x^(2)+b^(2)))dx`
Now, `(x^(2))/((x^(2)+a^(2))(x^(2)+b^(2))) , ["let" x^(2)=t]` ltbr gt ` = (t)/((t+a^(2))(t^(2)+b^(2))) = (A)/((t+a^(2))) + (B)/((t+b^(2)))`
`t = A(t+b^(2))+B(t+a^(2))`
On comparing the coefficient of t, we get
`A + B = 1`
`b^(2)A + a^(2)B = 0`
`rArr b^(2) (1-B) + a^(2)B = 0`
`rArr b^(2) - b^(2)B + a^(2)B = 0`
`rArr b^(2) + (a^(2) - b^(2)) b = 0`
`rArr B = (-b^(2))/(a^(2) - b^(2)) = (b^(2))/(b^(2) - a^(2))`
From Eq. (i),
`A + (b^(2))/(b^(2) - a^(2)) = 1`
`rArr A = (b^(2) - a^(2) - b^(2))/(b^(2) - a^(2)) = (-a^(2))/(b^(2) - a^(2))`
` I = int(-a^(2))/((b^(2) - a^(2)) (x^(2) - a^(2)))dx + int(b^(2))/((b^(2)-a^(2))). (1)/(x^(2) + b^(2)) dx`
`= (-a^(2))/((b-a^(2))) int (1)/(x^(2)+a^(2))dx + (b^(2))/(b^(2)-a^(2))int (1)/(x^(2)+b^(2))dx`
` = (-a^(2))/(b^(2) - a^(2)). (1)/(a) tan^(-1)'x/a + (b^(2))/(b^(2)-a^(2)).(1)/(b) tan^(-1)'(x)/(b)`
`(1)/(b^(2) - a^(2))[-atan^(-1) 'x/a + b tan^(-1)'x/b]`
`= 1/(a^(2)-b^(2)) [atan^(-1)'(x)/(a) - tanx^(-1)'x/b]`