`inte^(-3x)cos^3x d x`

Answer

N/a

Explanation

Let `I = underset(II)(inte^(-3xe))cos^(3)underset(I)(xdx)`
`=cos^(3)x inte^(-3x)dx - int(d/(dx)cos^(3)x inte^(-3x)dx)dx`
`=cos^(2)x.(e^(-3x))/(-3)-int(-3cos^(2)x)sinx.(e^(-3x))/(-3)dx`
`= -1/3cos^(-3)xe^(-3x) - int cos^(2)xsinxe^(-3x)dx`
`- 1/3 cos^(3)xe^(-3x)-int(1-sin^(2x))sinxe^(-3x)dx`
`=-1/3cos^(3)xe^(-3x)-intsinxe^(-3x)dx +intunderset(I)(sin^(3)xe^(-3x))underset(II)(dx)`
`- 1/3 cos^(3)xe^(-3x)-intsinxe^(-3x)dx + sin^(3)x.(e^(-3x))/(-3) -int3sin^(2)xcosx. (e^(-3x))/(-3)dx`
` = - 1/3 cos^(3)xe^(-3x) - int sinxe^(-3x)dx - 1/3 sin^(3) xe^(-3x) + int(1-cos^(2)x) cos x e^(-3x) dx`
`I = - 1/3 cos^(3)xe^(-3x) - intunderset(I)(sin)underset(II)(e^(-3x))-(1)/(3) sin^(3)xe^(-3x) + int cosxe^(-3x)dx - int cos^(3)xe^(-
3x)dx`
`2I = (e^(-3x))/(3)[cos^(3)x + sin^(3)x] - [sinx .(e^(-3x))/(-3) - int cosx. (e^(-3x))/(-3)dx] + int cos e^(-3x) dx`
`2I = (e^(-3x))/(-3) [cos^(3) x + sin^(3)x] + 1/3 sin x. e^(-3x) - (1)/(3) intcosx.e^(-3x)dx+ intcos xe^(-3x) dx`
`2I = (e^(-3x))/(-3) [cos^(3) x + sin^(3)x] + 1/3 sinx e^(-3x) + 2/3 int cos x e^(-3x) dx`
Now, let `I_(1) = intunderset(I)(cos) x underset(II)(e^(-3x)dx)`
`I_(1) = cos x. (e^(-3x))/(-3) - int - (-sinx) .(e^(-3x))/(-3)dx`
`I_(1) = (-1)/(3) cosx.e^(-3x) - 1/3 int sinx.e^(-3x)dx`
`= - 1/3 cos x.e^(-3x) - 1/3 [sinx.(e^(-3x))/(-3) - int cos x. (e^(-3x))/(-3)dx]`
`= - 1/3 cos x.e^(-3x) + 1/9 sinx.e^(-3x) - 1/9 int cos x.e^(-3x) dx`
`I_(1) = 1 /9 I_(1) = - 1/3 e^(-3x) . cosx + 1/9 int cos x. e^(-3x)`
`(10/9) I_(1)= -1/3 e^(-3x) . cos x + 1/9 sin x.e^(-3x)`
`I_(1) = (-3)/(10)e^(-3x). cosx + 1/10 e^(-3x) sinx`
` 2I = - 1/3 e^(-3x) [sin^(3)x + cos^(3)x] + 1/3 sinx.e^(-3x) - 3/10 sinx.e^(-3x) - (3)/(10) e^(-3x).cosx + 1/10 e^(-3x). sinx + C`
`:. I = - 1/6 e^(-3x) [sin^(3)x + cos^(3)x] + (13)/(30)e^(-3x).sinx - (3)/(10)e^(-3x). cos x + C`
`[{:( :' sin3x=3sinx-4sin^(3)x),("and cos"
3x = 4 cos^(3)x - 3cosx):}]`
` = (e^(-3x))/(24) [sin3x-cos3x]+ (3e^(-3x))/(40)[sinx - 3cosx] + C`