If `a+b+c!=` and `|(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)|=0` then prove that `a=b=c`

Answer

N/a

Explanation

Let `A=|(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)|`
`=|(a+b+c ,a+b+c,a+b+c),(b,c,a),(c,a,b)| [ :' R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)]`
`=(a+b+c)|(1,1,1),(b,c,a),(c,a,b)|`
`=(a+b+c)|(0,0,1),(b-a,c-a,a),(c-b,a-b,b)| [ :' C_(1)toC_(1)-C_(3)` and `C_(2)toC_(2)-C_(3)]`
Expanding along `R_(1)`
`=(a+b+c[1(b-a)(a-b)-(c-a)(c-b)]`
`=(a+b+c)(ba-b^(2)-a^(2)+ab-c^(2)+cb+ac-ab)`
`=(-1)/2(a+b+c)xx(-2)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)`
`=(-1)/2(a+b+c)[a^(2)+b^(2)+c^(2)-2ab-2bc-2ca+a^(2)+b^(2)+c^(2)]`
`=-1/2(a+b+c)[a^(2)+b^(2)-2ab+b^(2)+c^(2)-2bc+c^(2)+a^(2)-2ac]`
`=(-1)/2(a+b+c)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]`
Also `A=0`
`=(-1)/2(a+b+c)[(a-b)^(2)(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]=0`
`(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0 [ :' a+b+c!= "given"]`
`implies a-b=b-c=c-a=0`
`a=b=c` Hence proved.