Prove that: `|b c-a^2c a-b^2a b-c^2c a-b^2a b-c^2b c-a^2a b-c^2b c-a^2c a-b^2|` is divisible by `a+b+c` and find the quotient.

Answer

N/a

Explanation

Let `Delta=|(bc-a^(2),ca-b^(2),ab-c^(2)),(ca-b^(2),ab-c^(2),bc-a^(2)),(ab-c^(2),bc-a^(2),ca-b^(2))|`
`=|(bc-a^(2)-ca+b^(2),ca-b^(2)-ab+c^(2),ab-c^(2)),(ca-b^(2)-ab+c^(2),ab-c^(2)-bc+a^(2),bc-a^(2)),(ab-c^(2)-bc+a^(2),bc-a^(2)-ca+b^(2),ca-b^(2))|`
`[ :' C_(1)toC_(1)-C_(2)` and `C_(2)toC_(2)-C_(3)]`
`=|((b-a)(a+b+c),(c-b)(a+b+c),ab-c^(2)),((c-b)(a+b+c),(a-c)(a+b+c),bc-a^(2)),((a-c)(a+b+c),(b-a)(a+b+c),ca-b^(2))|`
`=(a+b+c)^(2)|(b-a,c-b,ab-c^(2)),(c-b,a-c,bc-a^(2)),(a-c,b-a,ca-b^(2))|`
[taking `(a+b+c)` common from `C_(1)` and `C_(2)` each]
`=(a+b+c)^(2)|(0,0,ab+bc+ca(a^(2)+b^(2)+c^(2))),(c-b,a-c,bc-a^(2)),(a-c,b-a,ca-b^(2))|`
Now, expanding along`R_(1) [ :' R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)]`
`=(a+b+c)^(2)[ab+bc+ca-(a^(2)+b^(2)+c^(2))](c-b)(b-a)-(a-c)^(2)]`
`=(a+b+c)^(2)(ab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2))`
`(cb-ac-b^(2)+ab-a^(2)-c^(2)+2ac)`
`implies(a+b+c)^(2)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)`
`(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ac-ab-bc)`
`=1/2(a+b+c)[(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)]`
`=[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]`
`=1/2(a+b+c)(a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]`
Hence given determinant is divisible by `(a+b+c)` and quotient is
`(a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]`