एक लम्बाई माप (l) की निर्भरता, परावैद्युत पदार्थ के परावैद्युतांक `(epsilon)`, वोल्ट्जमान स्थिरांक `(k_(B))`, परमताप `(T)`, एक आयतन में कुछ आवेशित कणो की संख्या (n) (संख्या घनत्व) तथा हर एक कण के आवेश (q) पर होती है। l के लिए निम्नलिखित में से सही विमीय वाला कौन-सा/कौन-से सूत्र है/है?

Options

A. `l=sqrt(((nq^(2))/(epsilonk_(B)T)))`
B. `l=sqrt(((epsilonk_(B)T)/(nq^(2))))`
C. `l=sqrt(((q^(2))/(epsilonn^((2)/(3))k_(B)T)))`
D. `l=sqrt(((q^(2))/(epsilonn^((1)/(3))k_(B)T)))`

Answer

B, D

Explanation

दिए गए भौतिक राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार है
`[n]=[L^(-3)]`
`[q]=[AT]`
`[epsilon]=[M^(-1)L^(-3)A^(2)T^(4)]`
`[l]=[L]`
`[T]=[K]`
`[l]=[M^(1)L^(2)T^(-2)K^(-1)]`
(a) `RHS=sqrt(([L^(-3)A^(2)T^(2)])/([M^(-1)L^(-3)T^(4)A^(2)][M^(1)L^(2)T^(-2)K^(-1)][K]))`
`=sqrt(([L^(-3)A^(2)T^(2)])/([L^(-1)T^(2)A^(2)]))=sqrt([L^(-2)])=[L^(-1)]`
(b) `RHS=sqrt(([M^(-1)L^(-3)T^(4)A^(2)][M^(1)L^(2)T^(-2)K^(-1)][K])/([L^(-3)][A^(2)T^(2)]))`
`=sqrt(([L^(-1)T^(2)A^(2)])/([L^(-3)T^(2)A^(2)]))=[L]`
(c ) `RHS=sqrt(([A^(2)T^(2)])/([M^(-1)L^(-3)T^(4)A^(2)][L^(-2)][M^(1)L^(2)T^(-2)K^(-1)][K]))`
(d) `RHS=sqrt(([A^(2)T^(2)])/([M^(-1)L^(-3)T^(4)A^(2)][L^(-1)][M^(1)L^(2)T^(-2)K^(-1)][K]))`
`=sqrt(([A^(2)T^(2)])/([L^(-2)T^(2)A^(2)]))=[L]`