एक सरल लोलक खूँटी (Peg) की सहायता से ऊर्ध्वाघर दीवार पर लटकाया गंया है। लोलक को खींचकर चित्रानुसार दीवार से दूर क्षैतिज स्थिति में लाया जाता है तथा छोड़ दिया जाता है। गोलक दीवार से टकराता है, यदि प्रत्यावस्थान गुणांक (Coefficient of restitution) `2/sqrt5`, हो, तो संघट्टों की कम-से-कम कितनी संख्या होगी, जिनके बाद दोलनों का आयाम `60^@` से कम रह जाएगा?

Answer

4

Explanation

चित्रानुसार जब गोलंक A पर है तब उसकी स्थितिज ऊर्जा गोला को छोड़ने पर जब यह दीवार पर B बिंदु पर टकराता है, तब उसकी स्थितिज ऊर्जा mgl इसकी गतिज ऊर्जा में रूपांतरित हो जाती है यदि दीवार से टकराते समय गोलक का वेग v हो तब
`mgl=1/2 mv^(2)`
या `v=sqrt(2gl) .......(i)`

पहले उछाल के बाद गोलक की चाल, `v_(1)=e sqrt(2gl) .....(ii)`
दूसरे उछाल के बाद गोलक की चाल, `v_(2)=e^(2) sqrt(2gl)`
इसी प्रकार n उछाल बाद गोलक की चाल, `v_(n)=e^(n) sqrt(2gl) .......(iii)`
माना n बार उछाल के पश्चात गेंद h उचाई तक उठती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से, `1/2 mv_(n)^(2)=mgh`
`therefore h=(v_(n)^(2))/(2g)=(e^(2n).2gl)/(2g)=e^(2n).l`
`=((2)/(sqrt5))^(2n) l=(4/5)^(n) ,.........(iv)`
यदि n संघटटो के पश्चात कोण `theta_(n)` है, तब
`h=l-l cos theta_(n)=l (1-cos theta_(n)) ......(v)`
समी (iv) व् (v) से
`(4/5)^(n) l=l (1-cos theta_(n))`
या `(4/5)^(n)=(1-cos theta_(n))`
`theta_(n)` का मान `60^(@)` से कम हो अर्थार्त `cos theta_(n) ` का मान `1/2` से अधिक हो या `(1-cos theta_(n))` का मान `1/2` से कम हो इसके लिए `(4/5)^(m) lt (1/2)`
उपरोक्त सम्बन्ध की सत्यताः के लिए n=4
अर्थार्त आवश्यक संघटटो की संख्या =4