(i) अनन्त आवेश (प्रत्येक q कूलॉम)X -अक्ष पर x = 1 मीटर,x=2 मीटर, x = 4 मीटर, x=8 मीटर ...... पर रखे हैं। इनके कारण बिन्दु -0 पर विद्युत विभव तथा क्षेत्र ज्ञात कीजिये : (ii) यदि एकान्तर आवेश विपरीत चिन्ह के हों तो विभव तथा क्षेत्र क्या होंगे?

Explanation

(i) निर्वात् (अथवा वायु) में स्थित एक बिन्दु-आवेश q कूलॉम के कारण r मीटर की दूरी पर विद्युत विभव
` V = (1)/(4 pi epsi_0 ) q/r ` volt
अतः जब सभी आवेश एक ही चिन्ह के हैं तब मूल-बिन्दु ` x = 0` पर विभव
`V = (1)/(4pi epsi_0) (q/1+ q/2 + q/4 + q/8 +......)`
` = (q)/(4pi epsi_0) (1/1 + 1/2 + (1)/(2^2) + (1)/(2^3) + .....) `
` = (q)/(4pi epsi_0 ) ( (1)/(1 - 1/2 ) )`
[ `because` गुणोत्तर श्रेणी में सर्वनिष्ठ अनुपात `1/2` का है।]
` V = (2q)/(4pi epsi_0) " volt " = (18 xx 10^9 ) q` volt
सभी आवेशों के कारण `x = 0` पर विद्युत्-क्षेत्र एक ही रेखा के अनुदिश है। अतः परिणामी क्षेत्र
` E = (1)/(4pi epsi_0)[ (q)/(1^2) + (q)/(2^2) + (q)/(4^2) + (q)/(8^2) + ........] `
`= (q)/(4pi epsi_0) [ (1)/(2^2) + (1)/(2^2) + (1)/(2^4) + (1)/(2^6) + ......]`
` (q)/(4pi epsi_0) (1)/({ (1- 1/4 )}) ` [सर्वनिष्ठ अनुपात `1/4` है।]
` = (1)/(4pi epsi_0) ( (4q)/(3) )` न्यूटन/कूलॉम
` = (12 xx 10^9) q` न्यूटन/कूलॉम।
(ii) यदि एकान्तर आवेश विपरीत चिन्ह के हैं, तब x = 0 पर विभव
` V = (q)/(4pi epsi_0) [ 1/1 - 1/2 + (1)/(2^2) - (1)/(2^3) + .....]` [गुणोत्तर श्रेणी में सर्वनिष्ठ अनुपात `-1/4 ` है।]
` therefore V = (q)/(4pi epsi_0) [ (1)/(1- (-1/2) ) ] = (q)/(4pi epsi_0) ( (1/3)/(2) )`
` = (1)(4pi epsi_0) ( (2q)/(3) ) " volt " = (6 xx 10^9) ` q volt
x = 0 पर विद्युत-क्षेत्र
` E = (q)/(4 pi epsi_0) [ (1)/(1^2) - (1)/(2^2) + (1)/(2^4) - (1)/(2^6) + .....]`
इस श्रेणी में सर्वनिष्ठ अनुपात ` = - (1)/(2^2) = 1/4 ` है।
` therefore E = (q)/(4pi epsi_0) [ (1)/(1 - (-1/4) ) ]`
` = (1)/(4pi epsi_0) ( (4q)/(5) ) = (7.2 xx 10^9 ) q` न्यूटन/ कूलॉम।