विद्युत विभव एवं विद्युत क्षेत्र की तीव्रता में सम्बन्ध स्थापित कीजिये।

Explanation

माना `q_0` परीक्षण आवेश एक सम विभव पृष्ठ से dr दूरी पर स्थित दूसरी सम विभव पृष्ठ पर विस्थापित होता है। परीक्षण आवेश पर क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य
`W = - q_0 dV " " ...(1)`
जहाँ dV =सम विभव पृष्ठों के मध्य विभवान्तर है। इसी कार्य को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त कर सकते हैं-
` W = vecF.vecdr = q_0 vecE.vecdr`
` = q_0 E dr cos theta " " ....(2)` ?

समीकरण (1) व (2) से
`- q_0 (dV) = q_0 E dr cos theta`
` E cos theta = -(dV)/(dr)`
यहाँ `Ecos theta , vecE` का `vecr` की दिशा में घटक हैं।
` therefore E_r = -(del V)/(del r) " ".....(3)`
यहाँ आंशिक अवकलन इस तथ्य का प्रतीक है कि समीकरण (3) में V का परिवर्तन उस दिशा में है जिसमें क्षेत्र का घटक स्थित है।
अतः `E_x = -(delV)/(del x)`
` E_y = - (del V)/(del y)`
` E_z = - (del V)/(del z)`
` because vecE = E_x hati + E_y hatj + E_z hatk `
` therefore vecE = - ( (delV)/(del x) hati + (del V)/(del y) hatj + (del V)/(del z) hatk )`
` vecE = - ( (del)/(del x) hati + (del)/(del y) hatj + (del)/(delz) hatk ) V`
`vecE = -vec Delta V = - vec(grad)V " " ...(4)`
यहाँ `vecDelta = ( (del)/(delx) hati + (del)/(del y) hatj + (del )/(delz) hatk ) ` डेल संकारक है।
इसप्रकार विभव के साथ ऋणात्मक परिवर्तन की दर विद्युत क्षेत्र के बराबर होती है अर्थात्
` vecE =- (delV)/(delr ) hatr " " ....(5)`