चित्र में दिखाये गये दो सदिशों `vecA` और `vecB` के बीच का कोण `theta` है। इनके परिणामी सदिश का परिमाण तथा दिशा उनके परिमाणों तथा `theta` के पद मे निकालिए।

Explanation

चित्र के अनुसार माना `vec(OP)` तथा `vec(OQ)` दो सदिशों `vecA` तथा `vecB` को व्यक्त करते हैं जिसके बीच का कोण `theta` है। तब सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा हमें परिणामी सदिश `vecR` प्राप्त होगा, जिसे चित्र में `vec(OS)` द्वारा दिखाया गया है।
`vecR=vecA+vecB`
चित्र में `SN_|_OP` और `PM_|_OS`
`:.OS^(2)=ON^(2)+SN^(2)`
लेकिन `ON=OP+PN=A+Bcos theta`
`:' cos theta=(PN)/(SP):.PN=B cos theta`
`sin theta=(SN)/(SP)=(SN)/B" "SN=B sin theta`
`:.OS^(2)=(A+B cos theta)^(2)+(B sin theta)^(2)`
अथवा `R^(2)=A^(2)+2ABcos theta+B^(2)cos^(2) theta+B^(2)sin^(2)theta`
`R^(2)=A^(2)+2AB cos theta+B^(2)(cos^(2)theta+sin^(2)theta)`
`R^(2)=A^(2)+2ABcos theta+B^(2)xx1" "sin^(2) theta+cos^(2)theta=1`
`impliesR^(2)=A^(2)+B^(2)+2AB cos theta`
`=R=sqrt(A^(2)+B^(2)+2ABcos theta)`………1
`DeltaOSN` में `SN=PS sin theta =B sin theta`
अतएव `R sin alpha=B sin theta :. R/(sin theta)=B/(sin alpha)`…….2
इसी प्रकार `PM=A sin alpha =B sin beta`
अथवा `A/(sin beta)=B/(sin alpha)`……..3
समीकरण 2 तथा 3 को शामिल करने पर
`R/(sin theta)=A/(sin beta)=B/(sin alpha)`………4
समीकरण 4 को ज्या नियम कहते हैं।
समकोण त्रिभुज ONS से
`tan alpha=(NS)/(ON)=(NS)/(OP+PN)`
`=(B sin theta)/(A+B cos theta)`
`impliestan alpha=(B sin theta)/(A+B cos theta)`…….5