द्विविमीय गति कर रहे एक कण के लिए समय t पर कार्तीय निर्देश तंत्र में निर्देशांक (x,y) निम्न प्रकार हैं
`x=2+t^(3)` मी. तथा `y=t-((t^(3))/4)` मी0 समय अंतराल t=0 से t=2 सेकण्ड में कण का विस्थापन और औसत वेग क्या होंगें? समय t=2 सेकण्ड पर कण के तात्क्षणिक वेग और तात्क्षणिक त्वरण ज्ञात कीजिए। समय t=2 सेकण्ड पर स्थिति सदिश `vecr`, तात्क्षणिक वेग `vecv` और तात्क्षणिक त्वरण की दिशायें चित्रित करो।

Explanation

कण की स्थिति को व्यक्त करने वाला स्थिति सदिश निम्न है
`vecr=(2+t^(3))hati+(t-(t^(3))/4)hatj`
अतः समय t=0 सेकण्ड पर इसका स्थिति सदिश
`r_(1)=2hati` और समय `t=2` सेकण्ड पर इसका स्थिति सदिश
`r_(2)=(2+2^(3))hati+(2-(2^(3))/4)hatj`
`r_(2)=10hati+0hatj=10hati`
अतः समय अंतराल `Deltat=(2-0)=2` सेकण्ड में विस्थापन
`vec(Deltar)=vecr_(2)-vecr_(1)=10hati-2hati=8hati` मी
तब औसत वेग
`vecv_(ac)=(Deltar)/(Deltat)=(8hati)/2=4hati` मी./से
कण का तात्क्षणिक वेग
`vecv=(vec(dr))/(dt)`
`vecv=d/(dt)[(2+t^(3))hati+(t-(t^(3))/4)hatj]`
`vecv=(3t^(2)hat)i+(1-3/4t^(2))hatj`
तात्क्षणिक त्वरण
`veca=(vec(dv))/(dt)=6thati-1.5hatj`
अतः `t=2` सेकण्ड पर, तात्क्षणिक वेग और त्वरण क्रमशः
`vecv=12hati-2hatj`
और `veca=12hati-3hatj`
`|vecv|=sqrt((12)^(2)+(-2)^(2))=sqrt(144+4)=sqrt(148)`
`=sqrt(4xx37)=2sqrt(37)` मी. /से.
तथा `|veca|=sqrt((12)^(2)+(-3)^(2))=sqrt(144+9)`
`=sqrt(153) "मी./से."^(2)`
`=sqrt(153)"मी0/से"^(2)`
समय `t=2` सेकण्ड पर `vecr.vecv` और `veca` की दिशायें भिन्न भिन्न है। इन्हें आगे चित्र में दिखाया गया है।
उदराहरण से स्पष्ट है कि द्विविमीय गति में त्वरण `veca` और वेग `vecv` की दिशायें भिन्न-भिन्न हो सकती है। वेग के समानान्तर त्वरण के घटक `(veca)` से कण के वेग के परिमाण में परिवर्तन होता है और वेग के लम्बवत त्वरण के घटक `(veca)` से वेग की दिशा में परिवर्तन होता है।

चित्र समय t=2 सेकण्ड पर `vecr,vecv` और `veca` की दिशायें (यहां दूरी, वेग, त्वरण के मात्रक भिन्न-भिन्न हैं)